Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16878 / 11812
↖ ↑ ↗
← N 44.809122°
E  5.427246°		 ← 866.70 m → N 44.809122°
E  5.438232°		 →
↑
866.77 m
↓
↑
866.77 m
↓
N 44.801327°
E  5.427246°		 ← 866.82 m →
751 286 m²		 N 44.801327°
E  5.438232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16878 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515090942382812 y=0.360488891601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515090942382812 × 215)
    floor (0.515090942382812 × 32768)
    floor (16878.5)     		tx = 16878
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360488891601562 × 215)
    floor (0.360488891601562 × 32768)
    floor (11812.5)     		ty = 11812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16878 / 11812 ti = "15/16878/11812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16878/11812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16878 ÷ 215
    16878 ÷ 32768     		x = 0.51507568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11812 ÷ 215
    11812 ÷ 32768     		y = 0.3604736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51507568359375 × 2 - 1) × π
    0.0301513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.09472331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3604736328125 × 2 - 1) × π
    0.279052734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.876670020251587
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09472331} λ = 0.09472331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.876670020251587))-π/2
    2×atan(2.4028848113448)-π/2
    2×1.17643151768515-π/2
    2.35286303537031-1.57079632675     		φ = 0.78206671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09472331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.427246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78206671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.809122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16878 KachelY 11812 0.09472331 0.78206671 5.427246 44.809122
    Oben rechts KachelX + 1 16879 KachelY 11812 0.09491506 0.78206671 5.438232 44.809122
    Unten links KachelX 16878 KachelY + 1 11813 0.09472331 0.78193066 5.427246 44.801327
    Unten rechts KachelX + 1 16879 KachelY + 1 11813 0.09491506 0.78193066 5.438232 44.801327
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78206671-0.78193066) × R
    0.000136050000000054 × 6371000     		dl = 866.774550000345m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78206671-0.78193066) × R
    0.000136050000000054 × 6371000     		dr = 866.774550000345m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09472331-0.09491506) × cos(0.78206671) × R
    0.000191749999999991 × 0.709458546180041 × 6371000     		do = 866.702406261433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09472331-0.09491506) × cos(0.78193066) × R
    0.000191749999999991 × 0.709554420466097 × 6371000     		du = 866.819530052345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78206671)-sin(0.78193066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709458546180041-0.709554420466097)×R²
    abs(0.09491506-0.09472331)×9.58742860560635e-05×R²
    0.000191749999999991×9.58742860560635e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.58742860560635e-05×40589641000000     		ar = 751286.349291272m²