Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16878 / 11810
↖ ↑ ↗
← N 44.824709°
E  5.427246°		 ← 866.47 m → N 44.824709°
E  5.438232°		 →
↑
866.52 m
↓
↑
866.52 m
↓
N 44.816916°
E  5.427246°		 ← 866.59 m →
750 862 m²		 N 44.816916°
E  5.438232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16878 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515090942382812 y=0.360427856445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515090942382812 × 215)
    floor (0.515090942382812 × 32768)
    floor (16878.5)     		tx = 16878
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360427856445312 × 215)
    floor (0.360427856445312 × 32768)
    floor (11810.5)     		ty = 11810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16878 / 11810 ti = "15/16878/11810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16878/11810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16878 ÷ 215
    16878 ÷ 32768     		x = 0.51507568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11810 ÷ 215
    11810 ÷ 32768     		y = 0.36041259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51507568359375 × 2 - 1) × π
    0.0301513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.09472331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36041259765625 × 2 - 1) × π
    0.2791748046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.877053515448547
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09472331} λ = 0.09472331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.877053515448547))-π/2
    2×atan(2.4038064828458)-π/2
    2×1.17656753627461-π/2
    2.35313507254923-1.57079632675     		φ = 0.78233875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09472331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.427246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78233875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.824709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16878 KachelY 11810 0.09472331 0.78233875 5.427246 44.824709
    Oben rechts KachelX + 1 16879 KachelY 11810 0.09491506 0.78233875 5.438232 44.824709
    Unten links KachelX 16878 KachelY + 1 11811 0.09472331 0.78220274 5.427246 44.816916
    Unten rechts KachelX + 1 16879 KachelY + 1 11811 0.09491506 0.78220274 5.438232 44.816916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78233875-0.78220274) × R
    0.000136009999999964 × 6371000     		dl = 866.519709999772m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78233875-0.78220274) × R
    0.000136009999999964 × 6371000     		dr = 866.519709999772m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09472331-0.09491506) × cos(0.78233875) × R
    0.000191749999999991 × 0.709266800510727 × 6371000     		do = 866.468162225781m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09472331-0.09491506) × cos(0.78220274) × R
    0.000191749999999991 × 0.709362672859063 × 6371000     		du = 866.585283649499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78233875)-sin(0.78220274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709266800510727-0.709362672859063)×R²
    abs(0.09491506-0.09472331)×9.58723483361901e-05×R²
    0.000191749999999991×9.58723483361901e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.58723483361901e-05×40589641000000     		ar = 750862.485824718m²