Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16877 / 11803
↖ ↑ ↗
← N 44.879228°
E  5.416260°		 ← 865.60 m → N 44.879228°
E  5.427246°		 →
↑
865.69 m
↓
↑
865.69 m
↓
N 44.871443°
E  5.416260°		 ← 865.72 m →
749 396 m²		 N 44.871443°
E  5.427246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515060424804688 y=0.360214233398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515060424804688 × 215)
    floor (0.515060424804688 × 32768)
    floor (16877.5)     		tx = 16877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360214233398438 × 215)
    floor (0.360214233398438 × 32768)
    floor (11803.5)     		ty = 11803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16877 / 11803 ti = "15/16877/11803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16877/11803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16877 ÷ 215
    16877 ÷ 32768     		x = 0.515045166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11803 ÷ 215
    11803 ÷ 32768     		y = 0.360198974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515045166015625 × 2 - 1) × π
    0.03009033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09453157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360198974609375 × 2 - 1) × π
    0.27960205078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.878395748637909
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09453157} λ = 0.09453157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.878395748637909))-π/2
    2×atan(2.40703511799378)-π/2
    2×1.17704331180117-π/2
    2.35408662360234-1.57079632675     		φ = 0.78329030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09453157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.416260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78329030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.879228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16877 KachelY 11803 0.09453157 0.78329030 5.416260 44.879228
    Oben rechts KachelX + 1 16878 KachelY 11803 0.09472331 0.78329030 5.427246 44.879228
    Unten links KachelX 16877 KachelY + 1 11804 0.09453157 0.78315442 5.416260 44.871443
    Unten rechts KachelX + 1 16878 KachelY + 1 11804 0.09472331 0.78315442 5.427246 44.871443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78329030-0.78315442) × R
    0.000135879999999977 × 6371000     		dl = 865.691479999854m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78329030-0.78315442) × R
    0.000135879999999977 × 6371000     		dr = 865.691479999854m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09453157-0.09472331) × cos(0.78329030) × R
    0.00019174000000001 × 0.708595693716691 × 6371000     		do = 865.603167193685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09453157-0.09472331) × cos(0.78315442) × R
    0.00019174000000001 × 0.708691566103956 × 6371000     		du = 865.72028255693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78329030)-sin(0.78315442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708595693716691-0.708691566103956)×R²
    abs(0.09472331-0.09453157)×9.58723872650502e-05×R²
    0.00019174000000001×9.58723872650502e-05×6371000²
    0.00019174000000001×9.58723872650502e-05×40589641000000     		ar = 749395.980939398m²