Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16877 / 11800
↖ ↑ ↗
← N 44.902578°
E  5.416260°		 ← 865.25 m → N 44.902578°
E  5.427246°		 →
↑
865.37 m
↓
↑
865.37 m
↓
N 44.894796°
E  5.416260°		 ← 865.37 m →
748 816 m²		 N 44.894796°
E  5.427246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515060424804688 y=0.360122680664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515060424804688 × 215)
    floor (0.515060424804688 × 32768)
    floor (16877.5)     		tx = 16877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360122680664062 × 215)
    floor (0.360122680664062 × 32768)
    floor (11800.5)     		ty = 11800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16877 / 11800 ti = "15/16877/11800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16877/11800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16877 ÷ 215
    16877 ÷ 32768     		x = 0.515045166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11800 ÷ 215
    11800 ÷ 32768     		y = 0.360107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515045166015625 × 2 - 1) × π
    0.03009033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09453157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360107421875 × 2 - 1) × π
    0.27978515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.87897099143335
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09453157} λ = 0.09453157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.87897099143335))-π/2
    2×atan(2.40842014592926)-π/2
    2×1.17724707772295-π/2
    2.3544941554459-1.57079632675     		φ = 0.78369783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09453157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.416260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78369783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.902578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16877 KachelY 11800 0.09453157 0.78369783 5.416260 44.902578
    Oben rechts KachelX + 1 16878 KachelY 11800 0.09472331 0.78369783 5.427246 44.902578
    Unten links KachelX 16877 KachelY + 1 11801 0.09453157 0.78356200 5.416260 44.894796
    Unten rechts KachelX + 1 16878 KachelY + 1 11801 0.09472331 0.78356200 5.427246 44.894796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78369783-0.78356200) × R
    0.000135830000000059 × 6371000     		dl = 865.372930000376m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78369783-0.78356200) × R
    0.000135830000000059 × 6371000     		dr = 865.372930000376m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09453157-0.09472331) × cos(0.78369783) × R
    0.00019174000000001 × 0.708308075712955 × 6371000     		do = 865.251820075458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09453157-0.09472331) × cos(0.78356200) × R
    0.00019174000000001 × 0.708403952043164 × 6371000     		du = 865.368940255305m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78369783)-sin(0.78356200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708308075712955-0.708403952043164)×R²
    abs(0.09472331-0.09453157)×9.58763302083554e-05×R²
    0.00019174000000001×9.58763302083554e-05×6371000²
    0.00019174000000001×9.58763302083554e-05×40589641000000     		ar = 748816.180194301m²