Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16877 / 11789
↖ ↑ ↗
← N 44.988113°
E  5.416260°		 ← 863.96 m → N 44.988113°
E  5.427246°		 →
↑
864.10 m
↓
↑
864.10 m
↓
N 44.980342°
E  5.416260°		 ← 864.08 m →
746 600 m²		 N 44.980342°
E  5.427246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515060424804688 y=0.359786987304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515060424804688 × 215)
    floor (0.515060424804688 × 32768)
    floor (16877.5)     		tx = 16877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359786987304688 × 215)
    floor (0.359786987304688 × 32768)
    floor (11789.5)     		ty = 11789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16877 / 11789 ti = "15/16877/11789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16877/11789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16877 ÷ 215
    16877 ÷ 32768     		x = 0.515045166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11789 ÷ 215
    11789 ÷ 32768     		y = 0.359771728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515045166015625 × 2 - 1) × π
    0.03009033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09453157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359771728515625 × 2 - 1) × π
    0.28045654296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.881080215016632
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09453157} λ = 0.09453157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.881080215016632))-π/2
    2×atan(2.41350540358691)-π/2
    2×1.17799351167145-π/2
    2.35598702334289-1.57079632675     		φ = 0.78519070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09453157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.416260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78519070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.988113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16877 KachelY 11789 0.09453157 0.78519070 5.416260 44.988113
    Oben rechts KachelX + 1 16878 KachelY 11789 0.09472331 0.78519070 5.427246 44.988113
    Unten links KachelX 16877 KachelY + 1 11790 0.09453157 0.78505507 5.416260 44.980342
    Unten rechts KachelX + 1 16878 KachelY + 1 11790 0.09472331 0.78505507 5.427246 44.980342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78519070-0.78505507) × R
    0.000135630000000053 × 6371000     		dl = 864.098730000339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78519070-0.78505507) × R
    0.000135630000000053 × 6371000     		dr = 864.098730000339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09453157-0.09472331) × cos(0.78519070) × R
    0.00019174000000001 × 0.707253464743366 × 6371000     		do = 863.963533110792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09453157-0.09472331) × cos(0.78505507) × R
    0.00019174000000001 × 0.707349343231846 × 6371000     		du = 864.080655927131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78519070)-sin(0.78505507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707253464743366-0.707349343231846)×R²
    abs(0.09472331-0.09453157)×9.58784884802499e-05×R²
    0.00019174000000001×9.58784884802499e-05×6371000²
    0.00019174000000001×9.58784884802499e-05×40589641000000     		ar = 746600.395710866m²