Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16876 / 50059
↖ ↑ ↗
← N 39.072511°
W133.648682°		 ← 237.12 m → N 39.072511°
W133.645935°		 →
↑
237.06 m
↓
↑
237.06 m
↓
N 39.070379°
W133.648682°		 ← 237.12 m →
56 213 m²		 N 39.070379°
W133.645935°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128757476806641 y=0.381923675537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128757476806641 × 217)
    floor (0.128757476806641 × 131072)
    floor (16876.5)     		tx = 16876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381923675537109 × 217)
    floor (0.381923675537109 × 131072)
    floor (50059.5)     		ty = 50059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16876 / 50059 ti = "17/16876/50059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16876/50059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16876 ÷ 217
    16876 ÷ 131072     		x = 0.128753662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50059 ÷ 217
    50059 ÷ 131072     		y = 0.381919860839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128753662109375 × 2 - 1) × π
    -0.74249267578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.33260954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381919860839844 × 2 - 1) × π
    0.236160278320312 × 3.1415926535     		Φ = 0.741919395419609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33260954} λ = -2.33260954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.741919395419609))-π/2
    2×atan(2.09996230678777)-π/2
    2×1.12637014946982-π/2
    2.25274029893963-1.57079632675     		φ = 0.68194397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33260954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.648682°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68194397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.072511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16876 KachelY 50059 -2.33260954 0.68194397 -133.648682 39.072511
    Oben rechts KachelX + 1 16877 KachelY 50059 -2.33256160 0.68194397 -133.645935 39.072511
    Unten links KachelX 16876 KachelY + 1 50060 -2.33260954 0.68190676 -133.648682 39.070379
    Unten rechts KachelX + 1 16877 KachelY + 1 50060 -2.33256160 0.68190676 -133.645935 39.070379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68194397-0.68190676) × R
    3.72100000000097e-05 × 6371000     		dl = 237.064910000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68194397-0.68190676) × R
    3.72100000000097e-05 × 6371000     		dr = 237.064910000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33260954--2.33256160) × cos(0.68194397) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.776348895515194 × 6371000     		do = 237.116935910755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33260954--2.33256160) × cos(0.68190676) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.776372348567726 × 6371000     		du = 237.12409907668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68194397)-sin(0.68190676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776348895515194-0.776372348567726)×R²
    abs(-2.33256160--2.33260954)×2.34530525319299e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34530525319299e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34530525319299e-05×40589641000000     		ar = 56212.9541454744m²