Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16876 / 49756
↖ ↑ ↗
← N 39.715638°
W133.648682°		 ← 234.94 m → N 39.715638°
W133.645935°		 →
↑
234.90 m
↓
↑
234.90 m
↓
N 39.713526°
W133.648682°		 ← 234.95 m →
55 188 m²		 N 39.713526°
W133.645935°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128757476806641 y=0.379611968994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128757476806641 × 217)
    floor (0.128757476806641 × 131072)
    floor (16876.5)     		tx = 16876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379611968994141 × 217)
    floor (0.379611968994141 × 131072)
    floor (49756.5)     		ty = 49756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16876 / 49756 ti = "17/16876/49756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16876/49756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16876 ÷ 217
    16876 ÷ 131072     		x = 0.128753662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49756 ÷ 217
    49756 ÷ 131072     		y = 0.379608154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128753662109375 × 2 - 1) × π
    -0.74249267578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.33260954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379608154296875 × 2 - 1) × π
    0.24078369140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.756444276004486
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33260954} λ = -2.33260954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.756444276004486))-π/2
    2×atan(2.13068660172176)-π/2
    2×1.13198248838054-π/2
    2.26396497676108-1.57079632675     		φ = 0.69316865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33260954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.648682°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69316865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.715638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16876 KachelY 49756 -2.33260954 0.69316865 -133.648682 39.715638
    Oben rechts KachelX + 1 16877 KachelY 49756 -2.33256160 0.69316865 -133.645935 39.715638
    Unten links KachelX 16876 KachelY + 1 49757 -2.33260954 0.69313178 -133.648682 39.713526
    Unten rechts KachelX + 1 16877 KachelY + 1 49757 -2.33256160 0.69313178 -133.645935 39.713526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69316865-0.69313178) × R
    3.68700000000777e-05 × 6371000     		dl = 234.898770000495m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69316865-0.69313178) × R
    3.68700000000777e-05 × 6371000     		dr = 234.898770000495m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33260954--2.33256160) × cos(0.69316865) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.769225183045869 × 6371000     		do = 234.941170758266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33260954--2.33256160) × cos(0.69313178) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.769248741634187 × 6371000     		du = 234.948366157536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69316865)-sin(0.69313178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769225183045869-0.769248741634187)×R²
    abs(-2.33256160--2.33260954)×2.35585883185951e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35585883185951e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35585883185951e-05×40589641000000     		ar = 55188.2371350904m²