Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16875 / 49942
↖ ↑ ↗
← N 39.321550°
W133.651428°		 ← 236.23 m → N 39.321550°
W133.648682°		 →
↑
236.24 m
↓
↑
236.24 m
↓
N 39.319425°
W133.651428°		 ← 236.24 m →
55 807 m²		 N 39.319425°
W133.648682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16875 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128749847412109 y=0.381031036376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128749847412109 × 217)
    floor (0.128749847412109 × 131072)
    floor (16875.5)     		tx = 16875
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381031036376953 × 217)
    floor (0.381031036376953 × 131072)
    floor (49942.5)     		ty = 49942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16875 / 49942 ti = "17/16875/49942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16875/49942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16875 ÷ 217
    16875 ÷ 131072     		x = 0.128746032714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49942 ÷ 217
    49942 ÷ 131072     		y = 0.381027221679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128746032714844 × 2 - 1) × π
    -0.742507934570312 × 3.1415926535     		Λ = -2.33265747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381027221679688 × 2 - 1) × π
    0.237945556640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.747528012675156
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33265747} λ = -2.33265747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.747528012675156))-π/2
    2×atan(2.11177328227702)-π/2
    2×1.12854342084823-π/2
    2.25708684169646-1.57079632675     		φ = 0.68629051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33265747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.651428°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68629051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.321550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16875 KachelY 49942 -2.33265747 0.68629051 -133.651428 39.321550
    Oben rechts KachelX + 1 16876 KachelY 49942 -2.33260954 0.68629051 -133.648682 39.321550
    Unten links KachelX 16875 KachelY + 1 49943 -2.33265747 0.68625343 -133.651428 39.319425
    Unten rechts KachelX + 1 16876 KachelY + 1 49943 -2.33260954 0.68625343 -133.648682 39.319425
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68629051-0.68625343) × R
    3.70799999999116e-05 × 6371000     		dl = 236.236679999437m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68629051-0.68625343) × R
    3.70799999999116e-05 × 6371000     		dr = 236.236679999437m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33265747--2.33260954) × cos(0.68629051) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.773601931605604 × 6371000     		do = 236.228656247153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33265747--2.33260954) × cos(0.68625343) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.773625427627084 × 6371000     		du = 236.235831039969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68629051)-sin(0.68625343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.773601931605604-0.773625427627084)×R²
    abs(-2.33260954--2.33265747)×2.34960214795521e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34960214795521e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34960214795521e-05×40589641000000     		ar = 55806.7209535486m²