Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16874 / 11782
↖ ↑ ↗
← N 45.042478°
E  5.383301°		 ← 863.19 m → N 45.042478°
E  5.394287°		 →
↑
863.27 m
↓
↑
863.27 m
↓
N 45.034715°
E  5.383301°		 ← 863.31 m →
745 216 m²		 N 45.034715°
E  5.394287°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16874 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.514968872070312 y=0.359573364257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.514968872070312 × 215)
    floor (0.514968872070312 × 32768)
    floor (16874.5)     		tx = 16874
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359573364257812 × 215)
    floor (0.359573364257812 × 32768)
    floor (11782.5)     		ty = 11782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16874 / 11782 ti = "15/16874/11782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16874/11782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16874 ÷ 215
    16874 ÷ 32768     		x = 0.51495361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11782 ÷ 215
    11782 ÷ 32768     		y = 0.35955810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51495361328125 × 2 - 1) × π
    0.0299072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.09395632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35955810546875 × 2 - 1) × π
    0.2808837890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.882422448205994
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09395632} λ = 0.09395632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.882422448205994))-π/2
    2×atan(2.41674706568886)-π/2
    2×1.17846793601121-π/2
    2.35693587202241-1.57079632675     		φ = 0.78613955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09395632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.383301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78613955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.042478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16874 KachelY 11782 0.09395632 0.78613955 5.383301 45.042478
    Oben rechts KachelX + 1 16875 KachelY 11782 0.09414807 0.78613955 5.394287 45.042478
    Unten links KachelX 16874 KachelY + 1 11783 0.09395632 0.78600405 5.383301 45.034715
    Unten rechts KachelX + 1 16875 KachelY + 1 11783 0.09414807 0.78600405 5.394287 45.034715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78613955-0.78600405) × R
    0.000135500000000066 × 6371000     		dl = 863.270500000421m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78613955-0.78600405) × R
    0.000135500000000066 × 6371000     		dr = 863.270500000421m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09395632-0.09414807) × cos(0.78613955) × R
    0.000191750000000004 × 0.706582347408368 × 6371000     		do = 863.188728951217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09395632-0.09414807) × cos(0.78600405) × R
    0.000191750000000004 × 0.706678224898524 × 6371000     		du = 863.305856656384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78613955)-sin(0.78600405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706582347408368-0.706678224898524)×R²
    abs(0.09414807-0.09395632)×9.58774901561599e-05×R²
    0.000191750000000004×9.58774901561599e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.58774901561599e-05×40589641000000     		ar = 745215.923223041m²