Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16872 / 49701
↖ ↑ ↗
← N 39.831741°
W133.659668°		 ← 234.50 m → N 39.831741°
W133.656922°		 →
↑
234.58 m
↓
↑
234.58 m
↓
N 39.829632°
W133.659668°		 ← 234.50 m →
55 009 m²		 N 39.829632°
W133.656922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128726959228516 y=0.379192352294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128726959228516 × 217)
    floor (0.128726959228516 × 131072)
    floor (16872.5)     		tx = 16872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379192352294922 × 217)
    floor (0.379192352294922 × 131072)
    floor (49701.5)     		ty = 49701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16872 / 49701 ti = "17/16872/49701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16872/49701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16872 ÷ 217
    16872 ÷ 131072     		x = 0.12872314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49701 ÷ 217
    49701 ÷ 131072     		y = 0.379188537597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12872314453125 × 2 - 1) × π
    -0.7425537109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.33280128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379188537597656 × 2 - 1) × π
    0.241622924804688 × 3.1415926535     		Φ = 0.759080805483589
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33280128} λ = -2.33280128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.759080805483589))-π/2
    2×atan(2.13631163177828)-π/2
    2×1.13299567643151-π/2
    2.26599135286302-1.57079632675     		φ = 0.69519503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33280128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.659668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69519503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.831741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16872 KachelY 49701 -2.33280128 0.69519503 -133.659668 39.831741
    Oben rechts KachelX + 1 16873 KachelY 49701 -2.33275335 0.69519503 -133.656922 39.831741
    Unten links KachelX 16872 KachelY + 1 49702 -2.33280128 0.69515821 -133.659668 39.829632
    Unten rechts KachelX + 1 16873 KachelY + 1 49702 -2.33275335 0.69515821 -133.656922 39.829632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69519503-0.69515821) × R
    3.68200000000485e-05 × 6371000     		dl = 234.580220000309m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69519503-0.69515821) × R
    3.68200000000485e-05 × 6371000     		dr = 234.580220000309m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33280128--2.33275335) × cos(0.69519503) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.767928792813474 × 6371000     		do = 234.496295069115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33280128--2.33275335) × cos(0.69515821) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.767952376799756 × 6371000     		du = 234.503496723042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69519503)-sin(0.69515821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767928792813474-0.767952376799756)×R²
    abs(-2.33275335--2.33280128)×2.35839862816611e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35839862816611e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35839862816611e-05×40589641000000     		ar = 55009.0371756756m²