Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1687 / 650
↖ ↑ ↗
← N 54.775346°
E116.542968°		 ← 11.274 km → N 54.775346°
E116.718750°		 →
↑
11.288 km
↓
↑
11.288 km
↓
N 54.673831°
E116.542968°		 ← 11.302 km →
127.417 km²		 N 54.673831°
E116.718750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823974609375 y=0.317626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823974609375 × 211)
    floor (0.823974609375 × 2048)
    floor (1687.5)     		tx = 1687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317626953125 × 211)
    floor (0.317626953125 × 2048)
    floor (650.5)     		ty = 650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1687 / 650 ti = "11/1687/650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1687/650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1687 ÷ 211
    1687 ÷ 2048     		x = 0.82373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 650 ÷ 211
    650 ÷ 2048     		y = 0.3173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82373046875 × 2 - 1) × π
    0.6474609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.03405852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3173828125 × 2 - 1) × π
    0.365234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.14741762930566
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03405852} λ = 2.03405852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14741762930566))-π/2
    2×atan(3.15004780623735)-π/2
    2×1.26340323047027-π/2
    2.52680646094053-1.57079632675     		φ = 0.95601013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03405852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.542968°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95601013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.775346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1687 KachelY 650 2.03405852 0.95601013 116.542968 54.775346
    Oben rechts KachelX + 1 1688 KachelY 650 2.03712649 0.95601013 116.718750 54.775346
    Unten links KachelX 1687 KachelY + 1 651 2.03405852 0.95423837 116.542968 54.673831
    Unten rechts KachelX + 1 1688 KachelY + 1 651 2.03712649 0.95423837 116.718750 54.673831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95601013-0.95423837) × R
    0.00177176000000001 × 6371000     		dl = 11287.8829600001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95601013-0.95423837) × R
    0.00177176000000001 × 6371000     		dr = 11287.8829600001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03405852-2.03712649) × cos(0.95601013) × R
    0.00306797000000003 × 0.576783880319027 × 6371000     		do = 11273.8389907375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03405852-2.03712649) × cos(0.95423837) × R
    0.00306797000000003 × 0.578230319306918 × 6371000     		du = 11302.111140525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95601013)-sin(0.95423837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576783880319027-0.578230319306918)×R²
    abs(2.03712649-2.03405852)×0.00144643898789099×R²
    0.00306797000000003×0.00144643898789099×6371000²
    0.00306797000000003×0.00144643898789099×40589641000000     		ar = 127417374.727927m²