Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1687 / 349
↖ ↑ ↗
← N 81.557073°
W 31.728515°		 ← 1 434.91 m → N 81.557073°
W 31.640625°		 →
↑
1 436.02 m
↓
↑
1 436.02 m
↓
N 81.544159°
W 31.728515°		 ← 1 437.09 m →
2 062 130 m²		 N 81.544159°
W 31.640625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4119873046875 y=0.0853271484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4119873046875 × 212)
    floor (0.4119873046875 × 4096)
    floor (1687.5)     		tx = 1687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0853271484375 × 212)
    floor (0.0853271484375 × 4096)
    floor (349.5)     		ty = 349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1687 / 349 ti = "12/1687/349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1687/349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1687 ÷ 212
    1687 ÷ 4096     		x = 0.411865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 349 ÷ 212
    349 ÷ 4096     		y = 0.085205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411865234375 × 2 - 1) × π
    -0.17626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55376706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.085205078125 × 2 - 1) × π
    0.82958984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.60623335854321
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55376706} λ = -0.55376706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60623335854321))-π/2
    2×atan(13.5479244509766)-π/2
    2×1.49711789401404-π/2
    2.99423578802808-1.57079632675     		φ = 1.42343946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55376706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.728515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42343946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.557073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1687 KachelY 349 -0.55376706 1.42343946 -31.728515 81.557073
    Oben rechts KachelX + 1 1688 KachelY 349 -0.55223308 1.42343946 -31.640625 81.557073
    Unten links KachelX 1687 KachelY + 1 350 -0.55376706 1.42321406 -31.728515 81.544159
    Unten rechts KachelX + 1 1688 KachelY + 1 350 -0.55223308 1.42321406 -31.640625 81.544159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42343946-1.42321406) × R
    0.000225399999999931 × 6371000     		dl = 1436.02339999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42343946-1.42321406) × R
    0.000225399999999931 × 6371000     		dr = 1436.02339999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55376706--0.55223308) × cos(1.42343946) × R
    0.00153397999999993 × 0.146824159849722 × 6371000     		do = 1434.91054383105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55376706--0.55223308) × cos(1.42321406) × R
    0.00153397999999993 × 0.147047113370081 × 6371000     		du = 1437.08946559348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42343946)-sin(1.42321406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146824159849722-0.147047113370081)×R²
    abs(-0.55223308--0.55376706)×0.000222953520358893×R²
    0.00153397999999993×0.000222953520358893×6371000²
    0.00153397999999993×0.000222953520358893×40589641000000     		ar = 2062129.61789528m²