Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1687 / 347
↖ ↑ ↗
← N 81.582843°
W 31.728515°		 ← 1 430.56 m → N 81.582843°
W 31.640625°		 →
↑
1 431.63 m
↓
↑
1 431.63 m
↓
N 81.569968°
W 31.728515°		 ← 1 432.73 m →
2 049 587 m²		 N 81.569968°
W 31.640625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4119873046875 y=0.0848388671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4119873046875 × 212)
    floor (0.4119873046875 × 4096)
    floor (1687.5)     		tx = 1687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0848388671875 × 212)
    floor (0.0848388671875 × 4096)
    floor (347.5)     		ty = 347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1687 / 347 ti = "12/1687/347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1687/347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1687 ÷ 212
    1687 ÷ 4096     		x = 0.411865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 347 ÷ 212
    347 ÷ 4096     		y = 0.084716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411865234375 × 2 - 1) × π
    -0.17626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55376706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.084716796875 × 2 - 1) × π
    0.83056640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.6093013201189
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55376706} λ = -0.55376706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.6093013201189))-π/2
    2×atan(13.5895527870384)-π/2
    2×1.49734277804315-π/2
    2.9946855560863-1.57079632675     		φ = 1.42388923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55376706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.728515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42388923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.582843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1687 KachelY 347 -0.55376706 1.42388923 -31.728515 81.582843
    Oben rechts KachelX + 1 1688 KachelY 347 -0.55223308 1.42388923 -31.640625 81.582843
    Unten links KachelX 1687 KachelY + 1 348 -0.55376706 1.42366452 -31.728515 81.569968
    Unten rechts KachelX + 1 1688 KachelY + 1 348 -0.55223308 1.42366452 -31.640625 81.569968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42388923-1.42366452) × R
    0.000224709999999906 × 6371000     		dl = 1431.6274099994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42388923-1.42366452) × R
    0.000224709999999906 × 6371000     		dr = 1431.6274099994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55376706--0.55223308) × cos(1.42388923) × R
    0.00153397999999993 × 0.146379249347537 × 6371000     		do = 1430.56243946389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55376706--0.55223308) × cos(1.42366452) × R
    0.00153397999999993 × 0.14660153519646 × 6371000     		du = 1432.73483608234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42388923)-sin(1.42366452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146379249347537-0.14660153519646)×R²
    abs(-0.55223308--0.55376706)×0.00022228584892342×R²
    0.00153397999999993×0.00022228584892342×6371000²
    0.00153397999999993×0.00022228584892342×40589641000000     		ar = 2049587.43995091m²