Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16869 / 15263
↖ ↑ ↗
← N 79.734770°
W133.667907°		 ← 54.42 m → N 79.734770°
W133.665161°		 →
↑
54.47 m
↓
↑
54.47 m
↓
N 79.734280°
W133.667907°		 ← 54.42 m →
2 964 m²		 N 79.734280°
W133.665161°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16869 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128704071044922 y=0.116451263427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128704071044922 × 217)
    floor (0.128704071044922 × 131072)
    floor (16869.5)     		tx = 16869
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116451263427734 × 217)
    floor (0.116451263427734 × 131072)
    floor (15263.5)     		ty = 15263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16869 / 15263 ti = "17/16869/15263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16869/15263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16869 ÷ 217
    16869 ÷ 131072     		x = 0.128700256347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15263 ÷ 217
    15263 ÷ 131072     		y = 0.116447448730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128700256347656 × 2 - 1) × π
    -0.742599487304688 × 3.1415926535     		Λ = -2.33294509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116447448730469 × 2 - 1) × π
    0.767105102539062 × 3.1415926535     		Φ = 2.40993175459908
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33294509} λ = -2.33294509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40993175459908))-π/2
    2×atan(11.1332013293504)-π/2
    2×1.48121529632378-π/2
    2.96243059264757-1.57079632675     		φ = 1.39163427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33294509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.667907°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39163427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.734770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16869 KachelY 15263 -2.33294509 1.39163427 -133.667907 79.734770
    Oben rechts KachelX + 1 16870 KachelY 15263 -2.33289716 1.39163427 -133.665161 79.734770
    Unten links KachelX 16869 KachelY + 1 15264 -2.33294509 1.39162572 -133.667907 79.734280
    Unten rechts KachelX + 1 16870 KachelY + 1 15264 -2.33289716 1.39162572 -133.665161 79.734280
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39163427-1.39162572) × R
    8.54999999999606e-06 × 6371000     		dl = 54.4720499999749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39163427-1.39162572) × R
    8.54999999999606e-06 × 6371000     		dr = 54.4720499999749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33294509--2.33289716) × cos(1.39163427) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.178205105532347 × 6371000     		do = 54.4170727817549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33294509--2.33289716) × cos(1.39162572) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.178213518669095 × 6371000     		du = 54.4196418342711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39163427)-sin(1.39162572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178205105532347-0.178213518669095)×R²
    abs(-2.33289716--2.33294509)×8.41313674831978e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.41313674831978e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.41313674831978e-06×40589641000000     		ar = 2964.2794800142m²