Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16868 / 49700
↖ ↑ ↗
← N 39.833850°
W133.670654°		 ← 234.54 m → N 39.833850°
W133.667907°		 →
↑
234.52 m
↓
↑
234.52 m
↓
N 39.831741°
W133.670654°		 ← 234.55 m →
55 004 m²		 N 39.831741°
W133.667907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128696441650391 y=0.379184722900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128696441650391 × 217)
    floor (0.128696441650391 × 131072)
    floor (16868.5)     		tx = 16868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379184722900391 × 217)
    floor (0.379184722900391 × 131072)
    floor (49700.5)     		ty = 49700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16868 / 49700 ti = "17/16868/49700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16868/49700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16868 ÷ 217
    16868 ÷ 131072     		x = 0.128692626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49700 ÷ 217
    49700 ÷ 131072     		y = 0.379180908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128692626953125 × 2 - 1) × π
    -0.74261474609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.33299303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379180908203125 × 2 - 1) × π
    0.24163818359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.759128742383209
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33299303} λ = -2.33299303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.759128742383209))-π/2
    2×atan(2.13641404238914)-π/2
    2×1.13301408221172-π/2
    2.26602816442344-1.57079632675     		φ = 0.69523184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33299303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.670654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69523184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.833850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16868 KachelY 49700 -2.33299303 0.69523184 -133.670654 39.833850
    Oben rechts KachelX + 1 16869 KachelY 49700 -2.33294509 0.69523184 -133.667907 39.833850
    Unten links KachelX 16868 KachelY + 1 49701 -2.33299303 0.69519503 -133.670654 39.831741
    Unten rechts KachelX + 1 16869 KachelY + 1 49701 -2.33294509 0.69519503 -133.667907 39.831741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69523184-0.69519503) × R
    3.68099999999982e-05 × 6371000     		dl = 234.516509999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69523184-0.69519503) × R
    3.68099999999982e-05 × 6371000     		dr = 234.516509999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33299303--2.33294509) × cos(0.69523184) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.767905214191737 × 6371000     		do = 234.538018294216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33299303--2.33294509) × cos(0.69519503) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.767928792813474 × 6371000     		du = 234.545219812208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69523184)-sin(0.69519503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767905214191737-0.767928792813474)×R²
    abs(-2.33294509--2.33299303)×2.35786217371858e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35786217371858e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35786217371858e-05×40589641000000     		ar = 55003.8819562884m²