Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16865 / 50082
↖ ↑ ↗
← N 39.023451°
W133.678894°		 ← 237.28 m → N 39.023451°
W133.676147°		 →
↑
237.26 m
↓
↑
237.26 m
↓
N 39.021318°
W133.678894°		 ← 237.29 m →
56 297 m²		 N 39.021318°
W133.676147°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16865 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128673553466797 y=0.382099151611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128673553466797 × 217)
    floor (0.128673553466797 × 131072)
    floor (16865.5)     		tx = 16865
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.382099151611328 × 217)
    floor (0.382099151611328 × 131072)
    floor (50082.5)     		ty = 50082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16865 / 50082 ti = "17/16865/50082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16865/50082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16865 ÷ 217
    16865 ÷ 131072     		x = 0.128669738769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50082 ÷ 217
    50082 ÷ 131072     		y = 0.382095336914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128669738769531 × 2 - 1) × π
    -0.742660522460938 × 3.1415926535     		Λ = -2.33313684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.382095336914062 × 2 - 1) × π
    0.235809326171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.740816846728348
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33313684} λ = -2.33313684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.740816846728348))-π/2
    2×atan(2.09764827199715)-π/2
    2×1.12594201954838-π/2
    2.25188403909675-1.57079632675     		φ = 0.68108771
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33313684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.678894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68108771 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.023451°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16865 KachelY 50082 -2.33313684 0.68108771 -133.678894 39.023451
    Oben rechts KachelX + 1 16866 KachelY 50082 -2.33308890 0.68108771 -133.676147 39.023451
    Unten links KachelX 16865 KachelY + 1 50083 -2.33313684 0.68105047 -133.678894 39.021318
    Unten rechts KachelX + 1 16866 KachelY + 1 50083 -2.33308890 0.68105047 -133.676147 39.021318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68108771-0.68105047) × R
    3.72400000000495e-05 × 6371000     		dl = 237.256040000315m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68108771-0.68105047) × R
    3.72400000000495e-05 × 6371000     		dr = 237.256040000315m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33313684--2.33308890) × cos(0.68108771) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.776888314447469 × 6371000     		do = 237.281688337315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33313684--2.33308890) × cos(0.68105047) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.776911761643728 × 6371000     		du = 237.288849714584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68108771)-sin(0.68105047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776888314447469-0.776911761643728)×R²
    abs(-2.33308890--2.33313684)×2.34471962592409e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34471962592409e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34471962592409e-05×40589641000000     		ar = 56297.3632858885m²