Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16864 / 49760
↖ ↑ ↗
← N 39.707186°
W133.681641°		 ← 234.97 m → N 39.707186°
W133.678894°		 →
↑
234.96 m
↓
↑
234.96 m
↓
N 39.705073°
W133.681641°		 ← 234.98 m →
55 210 m²		 N 39.705073°
W133.678894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128665924072266 y=0.379642486572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128665924072266 × 217)
    floor (0.128665924072266 × 131072)
    floor (16864.5)     		tx = 16864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379642486572266 × 217)
    floor (0.379642486572266 × 131072)
    floor (49760.5)     		ty = 49760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16864 / 49760 ti = "17/16864/49760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16864/49760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16864 ÷ 217
    16864 ÷ 131072     		x = 0.128662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49760 ÷ 217
    49760 ÷ 131072     		y = 0.379638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128662109375 × 2 - 1) × π
    -0.74267578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.33318478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379638671875 × 2 - 1) × π
    0.24072265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.756252528406006
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33318478} λ = -2.33318478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.756252528406006))-π/2
    2×atan(2.13027808684989)-π/2
    2×1.13190873532193-π/2
    2.26381747064385-1.57079632675     		φ = 0.69302114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33318478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.681641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69302114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.707186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16864 KachelY 49760 -2.33318478 0.69302114 -133.681641 39.707186
    Oben rechts KachelX + 1 16865 KachelY 49760 -2.33313684 0.69302114 -133.678894 39.707186
    Unten links KachelX 16864 KachelY + 1 49761 -2.33318478 0.69298426 -133.681641 39.705073
    Unten rechts KachelX + 1 16865 KachelY + 1 49761 -2.33313684 0.69298426 -133.678894 39.705073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69302114-0.69298426) × R
    3.68800000000169e-05 × 6371000     		dl = 234.962480000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69302114-0.69298426) × R
    3.68800000000169e-05 × 6371000     		dr = 234.962480000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33318478--2.33313684) × cos(0.69302114) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.769319430290659 × 6371000     		do = 234.969956292749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33318478--2.33313684) × cos(0.69298426) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.769342991083436 × 6371000     		du = 234.977152365318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69302114)-sin(0.69298426))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769319430290659-0.769342991083436)×R²
    abs(-2.33313684--2.33318478)×2.35607927775439e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35607927775439e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35607927775439e-05×40589641000000     		ar = 55209.9690659546m²