Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16861 / 50027
↖ ↑ ↗
← N 39.140712°
W133.689880°		 ← 236.89 m → N 39.140712°
W133.687134°		 →
↑
236.87 m
↓
↑
236.87 m
↓
N 39.138582°
W133.689880°		 ← 236.89 m →
56 113 m²		 N 39.138582°
W133.687134°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128643035888672 y=0.381679534912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128643035888672 × 217)
    floor (0.128643035888672 × 131072)
    floor (16861.5)     		tx = 16861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381679534912109 × 217)
    floor (0.381679534912109 × 131072)
    floor (50027.5)     		ty = 50027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16861 / 50027 ti = "17/16861/50027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16861/50027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16861 ÷ 217
    16861 ÷ 131072     		x = 0.128639221191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50027 ÷ 217
    50027 ÷ 131072     		y = 0.381675720214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128639221191406 × 2 - 1) × π
    -0.742721557617188 × 3.1415926535     		Λ = -2.33332859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381675720214844 × 2 - 1) × π
    0.236648559570312 × 3.1415926535     		Φ = 0.743453376207451
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33332859} λ = -2.33332859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.743453376207451))-π/2
    2×atan(2.10318608059296)-π/2
    2×1.12696531370275-π/2
    2.25393062740549-1.57079632675     		φ = 0.68313430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33332859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.689880°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68313430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.140712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16861 KachelY 50027 -2.33332859 0.68313430 -133.689880 39.140712
    Oben rechts KachelX + 1 16862 KachelY 50027 -2.33328065 0.68313430 -133.687134 39.140712
    Unten links KachelX 16861 KachelY + 1 50028 -2.33332859 0.68309712 -133.689880 39.138582
    Unten rechts KachelX + 1 16862 KachelY + 1 50028 -2.33328065 0.68309712 -133.687134 39.138582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68313430-0.68309712) × R
    3.717999999997e-05 × 6371000     		dl = 236.873779999809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68313430-0.68309712) × R
    3.717999999997e-05 × 6371000     		dr = 236.873779999809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33332859--2.33328065) × cos(0.68313430) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.775598076632093 × 6371000     		do = 236.887616497778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33332859--2.33328065) × cos(0.68309712) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.775621545118759 × 6371000     		du = 236.894784377685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68313430)-sin(0.68309712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775598076632093-0.775621545118759)×R²
    abs(-2.33328065--2.33332859)×2.34684866656787e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34684866656787e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34684866656787e-05×40589641000000     		ar = 56113.3141029249m²