Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16860 / 49692
↖ ↑ ↗
← N 39.850721°
W133.692627°		 ← 234.48 m → N 39.850721°
W133.689880°		 →
↑
234.45 m
↓
↑
234.45 m
↓
N 39.848612°
W133.692627°		 ← 234.49 m →
54 975 m²		 N 39.848612°
W133.689880°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49692 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128635406494141 y=0.379123687744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128635406494141 × 217)
    floor (0.128635406494141 × 131072)
    floor (16860.5)     		tx = 16860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379123687744141 × 217)
    floor (0.379123687744141 × 131072)
    floor (49692.5)     		ty = 49692
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16860 / 49692 ti = "17/16860/49692"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16860/49692.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16860 ÷ 217
    16860 ÷ 131072     		x = 0.128631591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49692 ÷ 217
    49692 ÷ 131072     		y = 0.379119873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128631591796875 × 2 - 1) × π
    -0.74273681640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.33337653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379119873046875 × 2 - 1) × π
    0.24176025390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.75951223758017
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33337653} λ = -2.33337653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.75951223758017))-π/2
    2×atan(2.13723350403287)-π/2
    2×1.13316130810658-π/2
    2.26632261621316-1.57079632675     		φ = 0.69552629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33337653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.692627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69552629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.850721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16860 KachelY 49692 -2.33337653 0.69552629 -133.692627 39.850721
    Oben rechts KachelX + 1 16861 KachelY 49692 -2.33332859 0.69552629 -133.689880 39.850721
    Unten links KachelX 16860 KachelY + 1 49693 -2.33337653 0.69548949 -133.692627 39.848612
    Unten rechts KachelX + 1 16861 KachelY + 1 49693 -2.33332859 0.69548949 -133.689880 39.848612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69552629-0.69548949) × R
    3.6799999999948e-05 × 6371000     		dl = 234.452799999669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69552629-0.69548949) × R
    3.6799999999948e-05 × 6371000     		dr = 234.452799999669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33337653--2.33332859) × cos(0.69552629) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.767716566986454 × 6371000     		do = 234.480400581944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33337653--2.33332859) × cos(0.69548949) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.767740147522782 × 6371000     		du = 234.487602684701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69552629)-sin(0.69548949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767716566986454-0.767740147522782)×R²
    abs(-2.33332859--2.33337653)×2.35805363273389e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35805363273389e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35805363273389e-05×40589641000000     		ar = 54975.4307444216m²