Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1686 / 651
↖ ↑ ↗
← N 54.673831°
E116.367187°		 ← 11.302 km → N 54.673831°
E116.542968°		 →
↑
11.316 km
↓
↑
11.316 km
↓
N 54.572062°
E116.367187°		 ← 11.330 km →
128.057 km²		 N 54.572062°
E116.542968°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823486328125 y=0.318115234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823486328125 × 211)
    floor (0.823486328125 × 2048)
    floor (1686.5)     		tx = 1686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318115234375 × 211)
    floor (0.318115234375 × 2048)
    floor (651.5)     		ty = 651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1686 / 651 ti = "11/1686/651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1686/651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1686 ÷ 211
    1686 ÷ 2048     		x = 0.8232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 651 ÷ 211
    651 ÷ 2048     		y = 0.31787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8232421875 × 2 - 1) × π
    0.646484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.03099056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31787109375 × 2 - 1) × π
    0.3642578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.14434966772998
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03099056} λ = 2.03099056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14434966772998))-π/2
    2×atan(3.14039839019374)-π/2
    2×1.26251734590516-π/2
    2.52503469181031-1.57079632675     		φ = 0.95423837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03099056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.367187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95423837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.673831°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1686 KachelY 651 2.03099056 0.95423837 116.367187 54.673831
    Oben rechts KachelX + 1 1687 KachelY 651 2.03405852 0.95423837 116.542968 54.673831
    Unten links KachelX 1686 KachelY + 1 652 2.03099056 0.95246216 116.367187 54.572062
    Unten rechts KachelX + 1 1687 KachelY + 1 652 2.03405852 0.95246216 116.542968 54.572062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95423837-0.95246216) × R
    0.00177621000000006 × 6371000     		dl = 11316.2339100004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95423837-0.95246216) × R
    0.00177621000000006 × 6371000     		dr = 11316.2339100004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03099056-2.03405852) × cos(0.95423837) × R
    0.00306796000000009 × 0.578230319306918 × 6371000     		do = 11302.0743014716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03099056-2.03405852) × cos(0.95246216) × R
    0.00306796000000009 × 0.579678569220153 × 6371000     		du = 11330.3817554046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95423837)-sin(0.95246216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578230319306918-0.579678569220153)×R²
    abs(2.03405852-2.03099056)×0.00144824991323467×R²
    0.00306796000000009×0.00144824991323467×6371000²
    0.00306796000000009×0.00144824991323467×40589641000000     		ar = 128057117.016234m²