Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1686 / 501
↖ ↑ ↗
← N 79.351472°
W 31.816407°		 ← 1 805.90 m → N 79.351472°
W 31.728515°		 →
↑
1 807.26 m
↓
↑
1 807.26 m
↓
N 79.335219°
W 31.816407°		 ← 1 808.63 m →
3 266 198 m²		 N 79.335219°
W 31.728515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4117431640625 y=0.1224365234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4117431640625 × 212)
    floor (0.4117431640625 × 4096)
    floor (1686.5)     		tx = 1686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1224365234375 × 212)
    floor (0.1224365234375 × 4096)
    floor (501.5)     		ty = 501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1686 / 501 ti = "12/1686/501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1686/501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1686 ÷ 212
    1686 ÷ 4096     		x = 0.41162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 501 ÷ 212
    501 ÷ 4096     		y = 0.122314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41162109375 × 2 - 1) × π
    -0.1767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55530105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122314453125 × 2 - 1) × π
    0.75537109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.37306827879126
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55530105} λ = -0.55530105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37306827879126))-π/2
    2×atan(10.7302652719341)-π/2
    2×1.47787039192495-π/2
    2.9557407838499-1.57079632675     		φ = 1.38494446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55530105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.816407°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38494446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.351472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1686 KachelY 501 -0.55530105 1.38494446 -31.816407 79.351472
    Oben rechts KachelX + 1 1687 KachelY 501 -0.55376706 1.38494446 -31.728515 79.351472
    Unten links KachelX 1686 KachelY + 1 502 -0.55530105 1.38466079 -31.816407 79.335219
    Unten rechts KachelX + 1 1687 KachelY + 1 502 -0.55376706 1.38466079 -31.728515 79.335219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38494446-1.38466079) × R
    0.000283669999999958 × 6371000     		dl = 1807.26156999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38494446-1.38466079) × R
    0.000283669999999958 × 6371000     		dr = 1807.26156999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55530105--0.55376706) × cos(1.38494446) × R
    0.00153398999999999 × 0.184783797437298 × 6371000     		do = 1805.90134513187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55530105--0.55376706) × cos(1.38466079) × R
    0.00153398999999999 × 0.185062574973451 × 6371000     		du = 1808.62585201242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38494446)-sin(1.38466079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184783797437298-0.185062574973451)×R²
    abs(-0.55376706--0.55530105)×0.000278777536153796×R²
    0.00153398999999999×0.000278777536153796×6371000²
    0.00153398999999999×0.000278777536153796×40589641000000     		ar = 3266198.07046294m²