Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1686 / 414
↖ ↑ ↗
← N 80.675559°
W 31.816407°		 ← 1 583.48 m → N 80.675559°
W 31.728515°		 →
↑
1 584.66 m
↓
↑
1 584.66 m
↓
N 80.661308°
W 31.816407°		 ← 1 585.87 m →
2 511 170 m²		 N 80.661308°
W 31.728515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4117431640625 y=0.1011962890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4117431640625 × 212)
    floor (0.4117431640625 × 4096)
    floor (1686.5)     		tx = 1686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1011962890625 × 212)
    floor (0.1011962890625 × 4096)
    floor (414.5)     		ty = 414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1686 / 414 ti = "12/1686/414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1686/414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1686 ÷ 212
    1686 ÷ 4096     		x = 0.41162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 414 ÷ 212
    414 ÷ 4096     		y = 0.10107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41162109375 × 2 - 1) × π
    -0.1767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55530105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10107421875 × 2 - 1) × π
    0.7978515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.5065246073335
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55530105} λ = -0.55530105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5065246073335))-π/2
    2×atan(12.2622398224554)-π/2
    2×1.48942522703701-π/2
    2.97885045407401-1.57079632675     		φ = 1.40805413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55530105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.816407°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40805413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.675559°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1686 KachelY 414 -0.55530105 1.40805413 -31.816407 80.675559
    Oben rechts KachelX + 1 1687 KachelY 414 -0.55376706 1.40805413 -31.728515 80.675559
    Unten links KachelX 1686 KachelY + 1 415 -0.55530105 1.40780540 -31.816407 80.661308
    Unten rechts KachelX + 1 1687 KachelY + 1 415 -0.55376706 1.40780540 -31.728515 80.661308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40805413-1.40780540) × R
    0.00024873000000003 × 6371000     		dl = 1584.65883000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40805413-1.40780540) × R
    0.00024873000000003 × 6371000     		dr = 1584.65883000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55530105--0.55376706) × cos(1.40805413) × R
    0.00153398999999999 × 0.162024775706063 × 6371000     		do = 1583.47628120131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55530105--0.55376706) × cos(1.40780540) × R
    0.00153398999999999 × 0.162270214145036 × 6371000     		du = 1585.8749634085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40805413)-sin(1.40780540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162024775706063-0.162270214145036)×R²
    abs(-0.55376706--0.55530105)×0.000245438438973483×R²
    0.00153398999999999×0.000245438438973483×6371000²
    0.00153398999999999×0.000245438438973483×40589641000000     		ar = 2511170.23052106m²