Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 16857 / 50073
↖ ↑ ↗
← N 39.042653°
W133.700867°		 ← 237.22 m → N 39.042653°
W133.698120°		 →
↑
237.19 m
↓
↑
237.19 m
↓
N 39.040520°
W133.700867°		 ← 237.22 m →
56 267 m²		 N 39.040520°
W133.698120°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128612518310547 y=0.382030487060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128612518310547 × 217)
    floor (0.128612518310547 × 131072)
    floor (16857.5)     		tx = 16857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.382030487060547 × 217)
    floor (0.382030487060547 × 131072)
    floor (50073.5)     		ty = 50073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16857 / 50073 ti = "17/16857/50073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16857/50073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16857 ÷ 217
    16857 ÷ 131072     		x = 0.128608703613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50073 ÷ 217
    50073 ÷ 131072     		y = 0.382026672363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128608703613281 × 2 - 1) × π
    -0.742782592773438 × 3.1415926535     		Λ = -2.33352034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.382026672363281 × 2 - 1) × π
    0.235946655273438 × 3.1415926535     		Φ = 0.741248278824928
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33352034} λ = -2.33352034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.741248278824928))-π/2
    2×atan(2.09855346003858)-π/2
    2×1.12610958406192-π/2
    2.25221916812384-1.57079632675     		φ = 0.68142284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33352034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.700867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68142284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.042653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16857 KachelY 50073 -2.33352034 0.68142284 -133.700867 39.042653
    Oben rechts KachelX + 1 16858 KachelY 50073 -2.33347240 0.68142284 -133.698120 39.042653
    Unten links KachelX 16857 KachelY + 1 50074 -2.33352034 0.68138561 -133.700867 39.040520
    Unten rechts KachelX + 1 16858 KachelY + 1 50074 -2.33347240 0.68138561 -133.698120 39.040520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68142284-0.68138561) × R
    3.72299999999992e-05 × 6371000     		dl = 237.192329999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68142284-0.68138561) × R
    3.72299999999992e-05 × 6371000     		dr = 237.192329999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33352034--2.33347240) × cos(0.68142284) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.776677260098893 × 6371000     		do = 237.217226908919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33352034--2.33347240) × cos(0.68138561) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.776700710691037 × 6371000     		du = 237.224389323378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68142284)-sin(0.68138561))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776677260098893-0.776700710691037)×R²
    abs(-2.33347240--2.33352034)×2.34505921439254e-05×R²
    4.79400000004127e-05×2.34505921439254e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×2.34505921439254e-05×40589641000000     		ar = 56266.9562080433m²