Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16855 / 50070
↖ ↑ ↗
← N 39.049052°
W133.706360°		 ← 237.20 m → N 39.049052°
W133.703613°		 →
↑
237.19 m
↓
↑
237.19 m
↓
N 39.046919°
W133.706360°		 ← 237.20 m →
56 262 m²		 N 39.046919°
W133.703613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128597259521484 y=0.382007598876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128597259521484 × 217)
    floor (0.128597259521484 × 131072)
    floor (16855.5)     		tx = 16855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.382007598876953 × 217)
    floor (0.382007598876953 × 131072)
    floor (50070.5)     		ty = 50070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16855 / 50070 ti = "17/16855/50070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16855/50070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16855 ÷ 217
    16855 ÷ 131072     		x = 0.128593444824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50070 ÷ 217
    50070 ÷ 131072     		y = 0.382003784179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128593444824219 × 2 - 1) × π
    -0.742813110351562 × 3.1415926535     		Λ = -2.33361621
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.382003784179688 × 2 - 1) × π
    0.235992431640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.741392089523788
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33361621} λ = -2.33361621}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.741392089523788))-π/2
    2×atan(2.09885527617994)-π/2
    2×1.12616542878211-π/2
    2.25233085756421-1.57079632675     		φ = 0.68153453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33361621} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.706360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68153453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.049052°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16855 KachelY 50070 -2.33361621 0.68153453 -133.706360 39.049052
    Oben rechts KachelX + 1 16856 KachelY 50070 -2.33356827 0.68153453 -133.703613 39.049052
    Unten links KachelX 16855 KachelY + 1 50071 -2.33361621 0.68149730 -133.706360 39.046919
    Unten rechts KachelX + 1 16856 KachelY + 1 50071 -2.33356827 0.68149730 -133.703613 39.046919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68153453-0.68149730) × R
    3.72299999999992e-05 × 6371000     		dl = 237.192329999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68153453-0.68149730) × R
    3.72299999999992e-05 × 6371000     		dr = 237.192329999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33361621--2.33356827) × cos(0.68153453) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.776606901863404 × 6371000     		do = 237.195737692779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33361621--2.33356827) × cos(0.68149730) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.776630355685044 × 6371000     		du = 237.20290109361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68153453)-sin(0.68149730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776606901863404-0.776630355685044)×R²
    abs(-2.33356827--2.33361621)×2.34538216403735e-05×R²
    4.79400000004127e-05×2.34538216403735e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×2.34538216403735e-05×40589641000000     		ar = 56261.8592478796m²