Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16851 / 50047
↖ ↑ ↗
← N 39.098094°
W133.717346°		 ← 237.03 m → N 39.098094°
W133.714600°		 →
↑
237 m
↓
↑
237 m
↓
N 39.095963°
W133.717346°		 ← 237.04 m →
56 177 m²		 N 39.095963°
W133.714600°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128566741943359 y=0.381832122802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128566741943359 × 217)
    floor (0.128566741943359 × 131072)
    floor (16851.5)     		tx = 16851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381832122802734 × 217)
    floor (0.381832122802734 × 131072)
    floor (50047.5)     		ty = 50047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16851 / 50047 ti = "17/16851/50047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16851/50047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16851 ÷ 217
    16851 ÷ 131072     		x = 0.128562927246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50047 ÷ 217
    50047 ÷ 131072     		y = 0.381828308105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128562927246094 × 2 - 1) × π
    -0.742874145507812 × 3.1415926535     		Λ = -2.33380796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381828308105469 × 2 - 1) × π
    0.236343383789062 × 3.1415926535     		Φ = 0.74249463821505
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33380796} λ = -2.33380796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.74249463821505))-π/2
    2×atan(2.10117064248533)-π/2
    2×1.12659340354056-π/2
    2.25318680708111-1.57079632675     		φ = 0.68239048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33380796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.717346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68239048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.098094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16851 KachelY 50047 -2.33380796 0.68239048 -133.717346 39.098094
    Oben rechts KachelX + 1 16852 KachelY 50047 -2.33376002 0.68239048 -133.714600 39.098094
    Unten links KachelX 16851 KachelY + 1 50048 -2.33380796 0.68235328 -133.717346 39.095963
    Unten rechts KachelX + 1 16852 KachelY + 1 50048 -2.33376002 0.68235328 -133.714600 39.095963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68239048-0.68235328) × R
    3.72000000000705e-05 × 6371000     		dl = 237.001200000449m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68239048-0.68235328) × R
    3.72000000000705e-05 × 6371000     		dr = 237.001200000449m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33380796--2.33376002) × cos(0.68239048) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.776067381356813 × 6371000     		do = 237.030954240611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33380796--2.33376002) × cos(0.68235328) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.776090840999745 × 6371000     		du = 237.038119419414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68239048)-sin(0.68235328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776067381356813-0.776090840999745)×R²
    abs(-2.33376002--2.33380796)×2.34596429323775e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34596429323775e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34596429323775e-05×40589641000000     		ar = 56177.4696766616m²