Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1685 / 671
↖ ↑ ↗
← N 52.589701°
E116.191406°		 ← 11.875 km → N 52.589701°
E116.367187°		 →
↑
11.889 km
↓
↑
11.889 km
↓
N 52.482780°
E116.191406°		 ← 11.903 km →
141.348 km²		 N 52.482780°
E116.367187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822998046875 y=0.327880859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822998046875 × 211)
    floor (0.822998046875 × 2048)
    floor (1685.5)     		tx = 1685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327880859375 × 211)
    floor (0.327880859375 × 2048)
    floor (671.5)     		ty = 671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1685 / 671 ti = "11/1685/671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1685/671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1685 ÷ 211
    1685 ÷ 2048     		x = 0.82275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 671 ÷ 211
    671 ÷ 2048     		y = 0.32763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82275390625 × 2 - 1) × π
    0.6455078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02792260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32763671875 × 2 - 1) × π
    0.3447265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.08299043621631
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02792260} λ = 2.02792260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08299043621631))-π/2
    2×atan(2.95349860728082)-π/2
    2×1.2443298789144-π/2
    2.48865975782881-1.57079632675     		φ = 0.91786343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02792260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.191406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91786343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.589701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1685 KachelY 671 2.02792260 0.91786343 116.191406 52.589701
    Oben rechts KachelX + 1 1686 KachelY 671 2.03099056 0.91786343 116.367187 52.589701
    Unten links KachelX 1685 KachelY + 1 672 2.02792260 0.91599732 116.191406 52.482780
    Unten rechts KachelX + 1 1686 KachelY + 1 672 2.03099056 0.91599732 116.367187 52.482780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91786343-0.91599732) × R
    0.00186611000000003 × 6371000     		dl = 11888.9868100002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91786343-0.91599732) × R
    0.00186611000000003 × 6371000     		dr = 11888.9868100002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02792260-2.03099056) × cos(0.91786343) × R
    0.00306795999999965 × 0.607518631140303 × 6371000     		do = 11874.5428584669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02792260-2.03099056) × cos(0.91599732) × R
    0.00306795999999965 × 0.608999833781129 × 6371000     		du = 11903.494405529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91786343)-sin(0.91599732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607518631140303-0.608999833781129)×R²
    abs(2.03099056-2.02792260)×0.00148120264082563×R²
    0.00306795999999965×0.00148120264082563×6371000²
    0.00306795999999965×0.00148120264082563×40589641000000     		ar = 141348426.718584m²