Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1685 / 475
↖ ↑ ↗
← N 79.765560°
W 31.904297°		 ← 1 736.43 m → N 79.765560°
W 31.816407°		 →
↑
1 737.75 m
↓
↑
1 737.75 m
↓
N 79.749932°
W 31.904297°		 ← 1 739.05 m →
3 019 764 m²		 N 79.749932°
W 31.816407°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4114990234375 y=0.1160888671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4114990234375 × 212)
    floor (0.4114990234375 × 4096)
    floor (1685.5)     		tx = 1685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1160888671875 × 212)
    floor (0.1160888671875 × 4096)
    floor (475.5)     		ty = 475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1685 / 475 ti = "12/1685/475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1685/475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1685 ÷ 212
    1685 ÷ 4096     		x = 0.411376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 475 ÷ 212
    475 ÷ 4096     		y = 0.115966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411376953125 × 2 - 1) × π
    -0.17724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55683503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115966796875 × 2 - 1) × π
    0.76806640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.41295177927515
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55683503} λ = -0.55683503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41295177927515))-π/2
    2×atan(11.166874693691)-π/2
    2×1.48148398879272-π/2
    2.96296797758544-1.57079632675     		φ = 1.39217165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55683503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.904297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39217165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.765560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1685 KachelY 475 -0.55683503 1.39217165 -31.904297 79.765560
    Oben rechts KachelX + 1 1686 KachelY 475 -0.55530105 1.39217165 -31.816407 79.765560
    Unten links KachelX 1685 KachelY + 1 476 -0.55683503 1.39189889 -31.904297 79.749932
    Unten rechts KachelX + 1 1686 KachelY + 1 476 -0.55530105 1.39189889 -31.816407 79.749932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39217165-1.39189889) × R
    0.000272760000000094 × 6371000     		dl = 1737.7539600006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39217165-1.39189889) × R
    0.000272760000000094 × 6371000     		dr = 1737.7539600006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55683503--0.55530105) × cos(1.39217165) × R
    0.00153398000000005 × 0.177676301473069 × 6371000     		do = 1736.42810988038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55683503--0.55530105) × cos(1.39189889) × R
    0.00153398000000005 × 0.177944714972114 × 6371000     		du = 1739.05131140445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39217165)-sin(1.39189889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177676301473069-0.177944714972114)×R²
    abs(-0.55530105--0.55683503)×0.000268413499045494×R²
    0.00153398000000005×0.000268413499045494×6371000²
    0.00153398000000005×0.000268413499045494×40589641000000     		ar = 3019764.08234595m²