Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16847 / 50019
↖ ↑ ↗
← N 39.157752°
W133.728333°		 ← 236.83 m → N 39.157752°
W133.725586°		 →
↑
236.81 m
↓
↑
236.81 m
↓
N 39.155622°
W133.728333°		 ← 236.84 m →
56 085 m²		 N 39.155622°
W133.725586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128536224365234 y=0.381618499755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128536224365234 × 217)
    floor (0.128536224365234 × 131072)
    floor (16847.5)     		tx = 16847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381618499755859 × 217)
    floor (0.381618499755859 × 131072)
    floor (50019.5)     		ty = 50019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16847 / 50019 ti = "17/16847/50019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16847/50019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16847 ÷ 217
    16847 ÷ 131072     		x = 0.128532409667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50019 ÷ 217
    50019 ÷ 131072     		y = 0.381614685058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128532409667969 × 2 - 1) × π
    -0.742935180664062 × 3.1415926535     		Λ = -2.33399971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381614685058594 × 2 - 1) × π
    0.236770629882812 × 3.1415926535     		Φ = 0.743836871404411
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33399971} λ = -2.33399971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.743836871404411))-π/2
    2×atan(2.10399279702924)-π/2
    2×1.12711401477011-π/2
    2.25422802954022-1.57079632675     		φ = 0.68343170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33399971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.728333°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68343170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.157752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16847 KachelY 50019 -2.33399971 0.68343170 -133.728333 39.157752
    Oben rechts KachelX + 1 16848 KachelY 50019 -2.33395177 0.68343170 -133.725586 39.157752
    Unten links KachelX 16847 KachelY + 1 50020 -2.33399971 0.68339453 -133.728333 39.155622
    Unten rechts KachelX + 1 16848 KachelY + 1 50020 -2.33395177 0.68339453 -133.725586 39.155622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68343170-0.68339453) × R
    3.71700000000308e-05 × 6371000     		dl = 236.810070000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68343170-0.68339453) × R
    3.71700000000308e-05 × 6371000     		dr = 236.810070000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33399971--2.33395177) × cos(0.68343170) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.775410315402407 × 6371000     		do = 236.830269385258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33399971--2.33395177) × cos(0.68339453) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.775433786149921 × 6371000     		du = 236.837437955686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68343170)-sin(0.68339453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775410315402407-0.775433786149921)×R²
    abs(-2.33395177--2.33399971)×2.34707475139651e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34707475139651e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34707475139651e-05×40589641000000     		ar = 56084.64147258m²