Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 16845 / 50044
↖ ↑ ↗
← N 39.104489°
W133.733826°		 ← 237.01 m → N 39.104489°
W133.731079°		 →
↑
237 m
↓
↑
237 m
↓
N 39.102357°
W133.733826°		 ← 237.02 m →
56 172 m²		 N 39.102357°
W133.731079°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128520965576172 y=0.381809234619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128520965576172 × 217)
    floor (0.128520965576172 × 131072)
    floor (16845.5)     		tx = 16845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381809234619141 × 217)
    floor (0.381809234619141 × 131072)
    floor (50044.5)     		ty = 50044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16845 / 50044 ti = "17/16845/50044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16845/50044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16845 ÷ 217
    16845 ÷ 131072     		x = 0.128517150878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50044 ÷ 217
    50044 ÷ 131072     		y = 0.381805419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128517150878906 × 2 - 1) × π
    -0.742965698242188 × 3.1415926535     		Λ = -2.33409558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381805419921875 × 2 - 1) × π
    0.23638916015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.74263844891391
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33409558} λ = -2.33409558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.74263844891391))-π/2
    2×atan(2.10147283503259)-π/2
    2×1.12664920440622-π/2
    2.25329840881244-1.57079632675     		φ = 0.68250208
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33409558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.733826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68250208 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.104489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16845 KachelY 50044 -2.33409558 0.68250208 -133.733826 39.104489
    Oben rechts KachelX + 1 16846 KachelY 50044 -2.33404764 0.68250208 -133.731079 39.104489
    Unten links KachelX 16845 KachelY + 1 50045 -2.33409558 0.68246488 -133.733826 39.102357
    Unten rechts KachelX + 1 16846 KachelY + 1 50045 -2.33404764 0.68246488 -133.731079 39.102357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68250208-0.68246488) × R
    3.71999999999595e-05 × 6371000     		dl = 237.001199999742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68250208-0.68246488) × R
    3.71999999999595e-05 × 6371000     		dr = 237.001199999742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33409558--2.33404764) × cos(0.68250208) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.775996995984427 × 6371000     		do = 237.009456736165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33409558--2.33404764) × cos(0.68246488) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.776020458849121 × 6371000     		du = 237.016622898977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68250208)-sin(0.68246488))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775996995984427-0.776020458849121)×R²
    abs(-2.33404764--2.33409558)×2.34628646942348e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34628646942348e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34628646942348e-05×40589641000000     		ar = 56172.3748589138m²