Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16844 / 49947
↖ ↑ ↗
← N 39.310925°
W133.736572°		 ← 236.31 m → N 39.310925°
W133.733826°		 →
↑
236.30 m
↓
↑
236.30 m
↓
N 39.308800°
W133.736572°		 ← 236.32 m →
55 842 m²		 N 39.308800°
W133.733826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128513336181641 y=0.381069183349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128513336181641 × 217)
    floor (0.128513336181641 × 131072)
    floor (16844.5)     		tx = 16844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381069183349609 × 217)
    floor (0.381069183349609 × 131072)
    floor (49947.5)     		ty = 49947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16844 / 49947 ti = "17/16844/49947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16844/49947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16844 ÷ 217
    16844 ÷ 131072     		x = 0.128509521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49947 ÷ 217
    49947 ÷ 131072     		y = 0.381065368652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128509521484375 × 2 - 1) × π
    -0.74298095703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.33414352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381065368652344 × 2 - 1) × π
    0.237869262695312 × 3.1415926535     		Φ = 0.747288328177055
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33414352} λ = -2.33414352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.747288328177055))-π/2
    2×atan(2.11126718361218)-π/2
    2×1.12845070361295-π/2
    2.2569014072259-1.57079632675     		φ = 0.68610508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33414352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.736572°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68610508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.310925°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16844 KachelY 49947 -2.33414352 0.68610508 -133.736572 39.310925
    Oben rechts KachelX + 1 16845 KachelY 49947 -2.33409558 0.68610508 -133.733826 39.310925
    Unten links KachelX 16844 KachelY + 1 49948 -2.33414352 0.68606799 -133.736572 39.308800
    Unten rechts KachelX + 1 16845 KachelY + 1 49948 -2.33409558 0.68606799 -133.733826 39.308800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68610508-0.68606799) × R
    3.70900000000729e-05 × 6371000     		dl = 236.300390000464m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68610508-0.68606799) × R
    3.70900000000729e-05 × 6371000     		dr = 236.300390000464m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33414352--2.33409558) × cos(0.68610508) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.773719420081752 × 6371000     		do = 236.313826430685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33414352--2.33409558) × cos(0.68606799) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.773742917118655 × 6371000     		du = 236.321003030569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68610508)-sin(0.68606799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.773719420081752-0.773742917118655)×R²
    abs(-2.33409558--2.33414352)×2.34970369031862e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34970369031862e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34970369031862e-05×40589641000000     		ar = 55841.8972712636m²