Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16838 / 11806
↖ ↑ ↗
← N 44.855869°
E  4.987793°		 ← 866 m → N 44.855869°
E  4.998779°		 →
↑
866.07 m
↓
↑
866.07 m
↓
N 44.848080°
E  4.987793°		 ← 866.12 m →
750 070 m²		 N 44.848080°
E  4.998779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513870239257812 y=0.360305786132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513870239257812 × 215)
    floor (0.513870239257812 × 32768)
    floor (16838.5)     		tx = 16838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360305786132812 × 215)
    floor (0.360305786132812 × 32768)
    floor (11806.5)     		ty = 11806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16838 / 11806 ti = "15/16838/11806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16838/11806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16838 ÷ 215
    16838 ÷ 32768     		x = 0.51385498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11806 ÷ 215
    11806 ÷ 32768     		y = 0.36029052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51385498046875 × 2 - 1) × π
    0.0277099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.08705341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36029052734375 × 2 - 1) × π
    0.2794189453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.877820505842468
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08705341} λ = 0.08705341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.877820505842468))-π/2
    2×atan(2.40565088655653)-π/2
    2×1.17683946315406-π/2
    2.35367892630812-1.57079632675     		φ = 0.78288260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08705341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.987793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78288260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.855869°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16838 KachelY 11806 0.08705341 0.78288260 4.987793 44.855869
    Oben rechts KachelX + 1 16839 KachelY 11806 0.08724516 0.78288260 4.998779 44.855869
    Unten links KachelX 16838 KachelY + 1 11807 0.08705341 0.78274666 4.987793 44.848080
    Unten rechts KachelX + 1 16839 KachelY + 1 11807 0.08724516 0.78274666 4.998779 44.848080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78288260-0.78274666) × R
    0.000135939999999946 × 6371000     		dl = 866.073739999653m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78288260-0.78274666) × R
    0.000135939999999946 × 6371000     		dr = 866.073739999653m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08705341-0.08724516) × cos(0.78288260) × R
    0.000191750000000004 × 0.708883313941751 × 6371000     		do = 865.999679981335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08705341-0.08724516) × cos(0.78274666) × R
    0.000191750000000004 × 0.708979189377179 × 6371000     		du = 866.116805176365m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78288260)-sin(0.78274666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708883313941751-0.708979189377179)×R²
    abs(0.08724516-0.08705341)×9.58754354281055e-05×R²
    0.000191750000000004×9.58754354281055e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.58754354281055e-05×40589641000000     		ar = 750070.302363016m²