Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16838 / 11749
↖ ↑ ↗
← N 45.298075°
E  4.987793°		 ← 859.32 m → N 45.298075°
E  4.998779°		 →
↑
859.38 m
↓
↑
859.38 m
↓
N 45.290347°
E  4.987793°		 ← 859.44 m →
738 540 m²		 N 45.290347°
E  4.998779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513870239257812 y=0.358566284179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513870239257812 × 215)
    floor (0.513870239257812 × 32768)
    floor (16838.5)     		tx = 16838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.358566284179688 × 215)
    floor (0.358566284179688 × 32768)
    floor (11749.5)     		ty = 11749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16838 / 11749 ti = "15/16838/11749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16838/11749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16838 ÷ 215
    16838 ÷ 32768     		x = 0.51385498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11749 ÷ 215
    11749 ÷ 32768     		y = 0.358551025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51385498046875 × 2 - 1) × π
    0.0277099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.08705341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.358551025390625 × 2 - 1) × π
    0.28289794921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.888750118955841
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08705341} λ = 0.08705341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.888750118955841))-π/2
    2×atan(2.43208793018941)-π/2
    2×1.18069844138163-π/2
    2.36139688276327-1.57079632675     		φ = 0.79060056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08705341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.987793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79060056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.298075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16838 KachelY 11749 0.08705341 0.79060056 4.987793 45.298075
    Oben rechts KachelX + 1 16839 KachelY 11749 0.08724516 0.79060056 4.998779 45.298075
    Unten links KachelX 16838 KachelY + 1 11750 0.08705341 0.79046567 4.987793 45.290347
    Unten rechts KachelX + 1 16839 KachelY + 1 11750 0.08724516 0.79046567 4.998779 45.290347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79060056-0.79046567) × R
    0.000134889999999999 × 6371000     		dl = 859.384189999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79060056-0.79046567) × R
    0.000134889999999999 × 6371000     		dr = 859.384189999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08705341-0.08724516) × cos(0.79060056) × R
    0.000191750000000004 × 0.703418578987842 × 6371000     		do = 859.323745270793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08705341-0.08724516) × cos(0.79046567) × R
    0.000191750000000004 × 0.703514449141908 × 6371000     		du = 859.440864013904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79060056)-sin(0.79046567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.703418578987842-0.703514449141908)×R²
    abs(0.08724516-0.08705341)×9.58701540663132e-05×R²
    0.000191750000000004×9.58701540663132e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.58701540663132e-05×40589641000000     		ar = 738539.566895248m²