Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 16837 / 50771
↖ ↑ ↗
← S 69.814996°
W 87.511597°		 ← 210.78 m → S 69.814996°
W 87.506103°		 →
↑
210.75 m
↓
↑
210.75 m
↓
S 69.816891°
W 87.511597°		 ← 210.76 m →
44 420 m²		 S 69.816891°
W 87.506103°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.256919860839844 y=0.774711608886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.256919860839844 × 216)
    floor (0.256919860839844 × 65536)
    floor (16837.5)     		tx = 16837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774711608886719 × 216)
    floor (0.774711608886719 × 65536)
    floor (50771.5)     		ty = 50771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 16837 / 50771 ti = "16/16837/50771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/16837/50771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16837 ÷ 216
    16837 ÷ 65536     		x = 0.256912231445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50771 ÷ 216
    50771 ÷ 65536     		y = 0.774703979492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.256912231445312 × 2 - 1) × π
    -0.486175537109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.52736550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774703979492188 × 2 - 1) × π
    -0.549407958984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.72601600771974
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.52736550} λ = -1.52736550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72601600771974))-π/2
    2×atan(0.177992118507209)-π/2
    2×0.176147391818754-π/2
    0.352294783637508-1.57079632675     		φ = -1.21850154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.52736550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.511597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21850154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.814996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16837 KachelY 50771 -1.52736550 -1.21850154 -87.511597 -69.814996
    Oben rechts KachelX + 1 16838 KachelY 50771 -1.52726962 -1.21850154 -87.506103 -69.814996
    Unten links KachelX 16837 KachelY + 1 50772 -1.52736550 -1.21853462 -87.511597 -69.816891
    Unten rechts KachelX + 1 16838 KachelY + 1 50772 -1.52726962 -1.21853462 -87.506103 -69.816891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21850154--1.21853462) × R
    3.30799999999076e-05 × 6371000     		dl = 210.752679999411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21850154--1.21853462) × R
    3.30799999999076e-05 × 6371000     		dr = 210.752679999411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.52736550--1.52726962) × cos(-1.21850154) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.345052562802921 × 6371000     		do = 210.775868665819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.52736550--1.52726962) × cos(-1.21853462) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.345021514276492 × 6371000     		du = 210.756902627498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21850154)-sin(-1.21853462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345052562802921-0.345021514276492)×R²
    abs(-1.52726962--1.52736550)×3.10485264284899e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.10485264284899e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.10485264284899e-05×40589641000000     		ar = 44419.5806330616m²