Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16837 / 11746
↖ ↑ ↗
← N 45.321254°
E  4.976807°		 ← 858.97 m → N 45.321254°
E  4.987793°		 →
↑
859 m
↓
↑
859 m
↓
N 45.313529°
E  4.976807°		 ← 859.09 m →
737 909 m²		 N 45.313529°
E  4.987793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513839721679688 y=0.358474731445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513839721679688 × 215)
    floor (0.513839721679688 × 32768)
    floor (16837.5)     		tx = 16837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.358474731445312 × 215)
    floor (0.358474731445312 × 32768)
    floor (11746.5)     		ty = 11746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16837 / 11746 ti = "15/16837/11746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16837/11746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16837 ÷ 215
    16837 ÷ 32768     		x = 0.513824462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11746 ÷ 215
    11746 ÷ 32768     		y = 0.35845947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.513824462890625 × 2 - 1) × π
    0.02764892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.08686166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35845947265625 × 2 - 1) × π
    0.2830810546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.889325361751282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08686166} λ = 0.08686166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.889325361751282))-π/2
    2×atan(2.43348737372045)-π/2
    2×1.18090071825665-π/2
    2.36180143651331-1.57079632675     		φ = 0.79100511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08686166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.976807°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79100511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.321254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16837 KachelY 11746 0.08686166 0.79100511 4.976807 45.321254
    Oben rechts KachelX + 1 16838 KachelY 11746 0.08705341 0.79100511 4.987793 45.321254
    Unten links KachelX 16837 KachelY + 1 11747 0.08686166 0.79087028 4.976807 45.313529
    Unten rechts KachelX + 1 16838 KachelY + 1 11747 0.08705341 0.79087028 4.987793 45.313529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79100511-0.79087028) × R
    0.000134829999999919 × 6371000     		dl = 859.001929999485m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79100511-0.79087028) × R
    0.000134829999999919 × 6371000     		dr = 859.001929999485m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08686166-0.08705341) × cos(0.79100511) × R
    0.000191750000000004 × 0.703130977066346 × 6371000     		do = 858.972399475118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08686166-0.08705341) × cos(0.79087028) × R
    0.000191750000000004 × 0.703226842942626 × 6371000     		du = 859.089512992317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79100511)-sin(0.79087028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.703130977066346-0.703226842942626)×R²
    abs(0.08705341-0.08686166)×9.58658762801878e-05×R²
    0.000191750000000004×9.58658762801878e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.58658762801878e-05×40589641000000     		ar = 737909.250452677m²