Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16834 / 49730
↖ ↑ ↗
← N 39.770548°
W133.764038°		 ← 234.75 m → N 39.770548°
W133.761292°		 →
↑
234.77 m
↓
↑
234.77 m
↓
N 39.768436°
W133.764038°		 ← 234.76 m →
55 114 m²		 N 39.768436°
W133.761292°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128437042236328 y=0.379413604736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128437042236328 × 217)
    floor (0.128437042236328 × 131072)
    floor (16834.5)     		tx = 16834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379413604736328 × 217)
    floor (0.379413604736328 × 131072)
    floor (49730.5)     		ty = 49730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16834 / 49730 ti = "17/16834/49730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16834/49730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16834 ÷ 217
    16834 ÷ 131072     		x = 0.128433227539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49730 ÷ 217
    49730 ÷ 131072     		y = 0.379409790039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128433227539062 × 2 - 1) × π
    -0.743133544921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.33462289
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379409790039062 × 2 - 1) × π
    0.241180419921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.757690635394608
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33462289} λ = -2.33462289}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.757690635394608))-π/2
    2×atan(2.13334385857976)-π/2
    2×1.13246166299047-π/2
    2.26492332598095-1.57079632675     		φ = 0.69412700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33462289} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.764038°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69412700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.770548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16834 KachelY 49730 -2.33462289 0.69412700 -133.764038 39.770548
    Oben rechts KachelX + 1 16835 KachelY 49730 -2.33457495 0.69412700 -133.761292 39.770548
    Unten links KachelX 16834 KachelY + 1 49731 -2.33462289 0.69409015 -133.764038 39.768436
    Unten rechts KachelX + 1 16835 KachelY + 1 49731 -2.33457495 0.69409015 -133.761292 39.768436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69412700-0.69409015) × R
    3.68500000000882e-05 × 6371000     		dl = 234.771350000562m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69412700-0.69409015) × R
    3.68500000000882e-05 × 6371000     		dr = 234.771350000562m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33462289--2.33457495) × cos(0.69412700) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.768612465531786 × 6371000     		do = 234.754031058116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33462289--2.33457495) × cos(0.69409015) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.768636038496054 × 6371000     		du = 234.761230848172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69412700)-sin(0.69409015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768612465531786-0.768636038496054)×R²
    abs(-2.33457495--2.33462289)×2.3572964268026e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3572964268026e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3572964268026e-05×40589641000000     		ar = 55114.365948068m²