Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 16832 / 50770
↖ ↑ ↗
← S 69.813100°
W 87.539062°		 ← 210.77 m → S 69.813100°
W 87.533569°		 →
↑
210.75 m
↓
↑
210.75 m
↓
S 69.814996°
W 87.539062°		 ← 210.75 m →
44 419 m²		 S 69.814996°
W 87.533569°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.256843566894531 y=0.774696350097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.256843566894531 × 216)
    floor (0.256843566894531 × 65536)
    floor (16832.5)     		tx = 16832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774696350097656 × 216)
    floor (0.774696350097656 × 65536)
    floor (50770.5)     		ty = 50770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 16832 / 50770 ti = "16/16832/50770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/16832/50770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16832 ÷ 216
    16832 ÷ 65536     		x = 0.2568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50770 ÷ 216
    50770 ÷ 65536     		y = 0.774688720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2568359375 × 2 - 1) × π
    -0.486328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.52784486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774688720703125 × 2 - 1) × π
    -0.54937744140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7259201339205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.52784486} λ = -1.52784486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7259201339205))-π/2
    2×atan(0.178009184105904)-π/2
    2×0.176163933312912-π/2
    0.352327866625825-1.57079632675     		φ = -1.21846846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.52784486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.539062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21846846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.813100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16832 KachelY 50770 -1.52784486 -1.21846846 -87.539062 -69.813100
    Oben rechts KachelX + 1 16833 KachelY 50770 -1.52774899 -1.21846846 -87.533569 -69.813100
    Unten links KachelX 16832 KachelY + 1 50771 -1.52784486 -1.21850154 -87.539062 -69.814996
    Unten rechts KachelX + 1 16833 KachelY + 1 50771 -1.52774899 -1.21850154 -87.533569 -69.814996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21846846--1.21850154) × R
    3.30800000001297e-05 × 6371000     		dl = 210.752680000826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21846846--1.21850154) × R
    3.30800000001297e-05 × 6371000     		dr = 210.752680000826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.52784486--1.52774899) × cos(-1.21846846) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.345083610951763 × 6371000     		do = 210.77284919677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.52784486--1.52774899) × cos(-1.21850154) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.345052562802921 × 6371000     		du = 210.753885367176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21846846)-sin(-1.21850154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345083610951763-0.345052562802921)×R²
    abs(-1.52774899--1.52784486)×3.10481488423053e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.10481488423053e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.10481488423053e-05×40589641000000     		ar = 44418.9445049238m²