Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 16832 / 49727
↖ ↑ ↗
← N 39.776880°
W133.769531°		 ← 234.73 m → N 39.776880°
W133.766785°		 →
↑
234.71 m
↓
↑
234.71 m
↓
N 39.774770°
W133.769531°		 ← 234.74 m →
55 094 m²		 N 39.774770°
W133.766785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128421783447266 y=0.379390716552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128421783447266 × 217)
    floor (0.128421783447266 × 131072)
    floor (16832.5)     		tx = 16832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379390716552734 × 217)
    floor (0.379390716552734 × 131072)
    floor (49727.5)     		ty = 49727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16832 / 49727 ti = "17/16832/49727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16832/49727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16832 ÷ 217
    16832 ÷ 131072     		x = 0.12841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49727 ÷ 217
    49727 ÷ 131072     		y = 0.379386901855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12841796875 × 2 - 1) × π
    -0.7431640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.33471876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379386901855469 × 2 - 1) × π
    0.241226196289062 × 3.1415926535     		Φ = 0.757834446093468
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33471876} λ = -2.33471876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.757834446093468))-π/2
    2×atan(2.13365067831242)-π/2
    2×1.13251692779615-π/2
    2.2650338555923-1.57079632675     		φ = 0.69423753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33471876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.769531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69423753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.776880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16832 KachelY 49727 -2.33471876 0.69423753 -133.769531 39.776880
    Oben rechts KachelX + 1 16833 KachelY 49727 -2.33467082 0.69423753 -133.766785 39.776880
    Unten links KachelX 16832 KachelY + 1 49728 -2.33471876 0.69420069 -133.769531 39.774770
    Unten rechts KachelX + 1 16833 KachelY + 1 49728 -2.33467082 0.69420069 -133.766785 39.774770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69423753-0.69420069) × R
    3.6840000000038e-05 × 6371000     		dl = 234.707640000242m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69423753-0.69420069) × R
    3.6840000000038e-05 × 6371000     		dr = 234.707640000242m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33471876--2.33467082) × cos(0.69423753) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.768541753172806 × 6371000     		do = 234.732433683548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33471876--2.33467082) × cos(0.69420069) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.768565322869847 × 6371000     		du = 234.739632475708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69423753)-sin(0.69420069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768541753172806-0.768565322869847)×R²
    abs(-2.33467082--2.33471876)×2.35696970408705e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35696970408705e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35696970408705e-05×40589641000000     		ar = 55094.3403534968m²