Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16832 / 49600
↖ ↑ ↗
← N 40.044437°
W133.769531°		 ← 233.82 m → N 40.044437°
W133.766785°		 →
↑
233.82 m
↓
↑
233.82 m
↓
N 40.042335°
W133.769531°		 ← 233.82 m →
54 671 m²		 N 40.042335°
W133.766785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128421783447266 y=0.378421783447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128421783447266 × 217)
    floor (0.128421783447266 × 131072)
    floor (16832.5)     		tx = 16832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378421783447266 × 217)
    floor (0.378421783447266 × 131072)
    floor (49600.5)     		ty = 49600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16832 / 49600 ti = "17/16832/49600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16832/49600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16832 ÷ 217
    16832 ÷ 131072     		x = 0.12841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49600 ÷ 217
    49600 ÷ 131072     		y = 0.37841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12841796875 × 2 - 1) × π
    -0.7431640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.33471876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37841796875 × 2 - 1) × π
    0.2431640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.763922432345215
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33471876} λ = -2.33471876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.763922432345215))-π/2
    2×atan(2.14667993503337)-π/2
    2×1.13485180486948-π/2
    2.26970360973897-1.57079632675     		φ = 0.69890728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33471876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.769531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69890728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.044437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16832 KachelY 49600 -2.33471876 0.69890728 -133.769531 40.044437
    Oben rechts KachelX + 1 16833 KachelY 49600 -2.33467082 0.69890728 -133.766785 40.044437
    Unten links KachelX 16832 KachelY + 1 49601 -2.33471876 0.69887058 -133.769531 40.042335
    Unten rechts KachelX + 1 16833 KachelY + 1 49601 -2.33467082 0.69887058 -133.766785 40.042335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69890728-0.69887058) × R
    3.67000000000006e-05 × 6371000     		dl = 233.815700000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69890728-0.69887058) × R
    3.67000000000006e-05 × 6371000     		dr = 233.815700000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33471876--2.33467082) × cos(0.69890728) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.765545680070707 × 6371000     		do = 233.817355839246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33471876--2.33467082) × cos(0.69887058) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.76556929165783 × 6371000     		du = 233.824567425715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69890728)-sin(0.69887058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765545680070707-0.76556929165783)×R²
    abs(-2.33467082--2.33471876)×2.36115871227183e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36115871227183e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36115871227183e-05×40589641000000     		ar = 54671.0118249792m²