Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16831 / 49729
↖ ↑ ↗
← N 39.772658°
W133.772278°		 ← 234.75 m → N 39.772658°
W133.769531°		 →
↑
234.71 m
↓
↑
234.71 m
↓
N 39.770548°
W133.772278°		 ← 234.75 m →
55 098 m²		 N 39.770548°
W133.769531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128414154052734 y=0.379405975341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128414154052734 × 217)
    floor (0.128414154052734 × 131072)
    floor (16831.5)     		tx = 16831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379405975341797 × 217)
    floor (0.379405975341797 × 131072)
    floor (49729.5)     		ty = 49729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16831 / 49729 ti = "17/16831/49729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16831/49729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16831 ÷ 217
    16831 ÷ 131072     		x = 0.128410339355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49729 ÷ 217
    49729 ÷ 131072     		y = 0.379402160644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128410339355469 × 2 - 1) × π
    -0.743179321289062 × 3.1415926535     		Λ = -2.33476670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379402160644531 × 2 - 1) × π
    0.241195678710938 × 3.1415926535     		Φ = 0.757738572294228
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33476670} λ = -2.33476670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.757738572294228))-π/2
    2×atan(2.13344612692136)-π/2
    2×1.13248008515732-π/2
    2.26496017031464-1.57079632675     		φ = 0.69416384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33476670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.772278°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69416384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.772658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16831 KachelY 49729 -2.33476670 0.69416384 -133.772278 39.772658
    Oben rechts KachelX + 1 16832 KachelY 49729 -2.33471876 0.69416384 -133.769531 39.772658
    Unten links KachelX 16831 KachelY + 1 49730 -2.33476670 0.69412700 -133.772278 39.770548
    Unten rechts KachelX + 1 16832 KachelY + 1 49730 -2.33471876 0.69412700 -133.769531 39.770548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69416384-0.69412700) × R
    3.68399999999269e-05 × 6371000     		dl = 234.707639999534m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69416384-0.69412700) × R
    3.68399999999269e-05 × 6371000     		dr = 234.707639999534m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33476670--2.33471876) × cos(0.69416384) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.768588897921232 × 6371000     		do = 234.746832903223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33476670--2.33471876) × cos(0.69412700) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.768612465531786 × 6371000     		du = 234.754031058116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69416384)-sin(0.69412700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768588897921232-0.768612465531786)×R²
    abs(-2.33471876--2.33476670)×2.35676105541094e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35676105541094e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35676105541094e-05×40589641000000     		ar = 55097.719885283m²