Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16830 / 50029
↖ ↑ ↗
← N 39.136452°
W133.775024°		 ← 236.85 m → N 39.136452°
W133.772278°		 →
↑
236.87 m
↓
↑
236.87 m
↓
N 39.134321°
W133.775024°		 ← 236.86 m →
56 105 m²		 N 39.134321°
W133.772278°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128406524658203 y=0.381694793701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128406524658203 × 217)
    floor (0.128406524658203 × 131072)
    floor (16830.5)     		tx = 16830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381694793701172 × 217)
    floor (0.381694793701172 × 131072)
    floor (50029.5)     		ty = 50029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16830 / 50029 ti = "17/16830/50029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16830/50029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16830 ÷ 217
    16830 ÷ 131072     		x = 0.128402709960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50029 ÷ 217
    50029 ÷ 131072     		y = 0.381690979003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128402709960938 × 2 - 1) × π
    -0.743194580078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.33481463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381690979003906 × 2 - 1) × π
    0.236618041992188 × 3.1415926535     		Φ = 0.743357502408211
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33481463} λ = -2.33481463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.743357502408211))-π/2
    2×atan(2.10298444981862)-π/2
    2×1.12692813281061-π/2
    2.25385626562121-1.57079632675     		φ = 0.68305994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33481463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.775024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68305994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.136452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16830 KachelY 50029 -2.33481463 0.68305994 -133.775024 39.136452
    Oben rechts KachelX + 1 16831 KachelY 50029 -2.33476670 0.68305994 -133.772278 39.136452
    Unten links KachelX 16830 KachelY + 1 50030 -2.33481463 0.68302276 -133.775024 39.134321
    Unten rechts KachelX + 1 16831 KachelY + 1 50030 -2.33476670 0.68302276 -133.772278 39.134321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68305994-0.68302276) × R
    3.7180000000081e-05 × 6371000     		dl = 236.873780000516m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68305994-0.68302276) × R
    3.7180000000081e-05 × 6371000     		dr = 236.873780000516m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33481463--2.33476670) × cos(0.68305994) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.775645012533242 × 6371000     		do = 236.852535586671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33481463--2.33476670) × cos(0.68302276) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.775668478875511 × 6371000     		du = 236.859701316583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68305994)-sin(0.68302276))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775645012533242-0.775668478875511)×R²
    abs(-2.33476670--2.33481463)×2.34663422686854e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34663422686854e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34663422686854e-05×40589641000000     		ar = 56105.0041001724m²