Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1683 / 341
↖ ↑ ↗
← N 81.659685°
W 32.080078°		 ← 1 417.60 m → N 81.659685°
W 31.992188°		 →
↑
1 418.63 m
↓
↑
1 418.63 m
↓
N 81.646927°
W 32.080078°		 ← 1 419.75 m →
2 012 571 m²		 N 81.646927°
W 31.992188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1683 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4110107421875 y=0.0833740234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4110107421875 × 212)
    floor (0.4110107421875 × 4096)
    floor (1683.5)     		tx = 1683
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0833740234375 × 212)
    floor (0.0833740234375 × 4096)
    floor (341.5)     		ty = 341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1683 / 341 ti = "12/1683/341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1683/341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1683 ÷ 212
    1683 ÷ 4096     		x = 0.410888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 341 ÷ 212
    341 ÷ 4096     		y = 0.083251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410888671875 × 2 - 1) × π
    -0.17822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55990299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.083251953125 × 2 - 1) × π
    0.83349609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.61850520484595
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55990299} λ = -0.55990299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61850520484595))-π/2
    2×atan(13.7152068300188)-π/2
    2×1.49801334938964-π/2
    2.99602669877929-1.57079632675     		φ = 1.42523037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55990299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.080078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42523037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.659685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1683 KachelY 341 -0.55990299 1.42523037 -32.080078 81.659685
    Oben rechts KachelX + 1 1684 KachelY 341 -0.55836901 1.42523037 -31.992188 81.659685
    Unten links KachelX 1683 KachelY + 1 342 -0.55990299 1.42500770 -32.080078 81.646927
    Unten rechts KachelX + 1 1684 KachelY + 1 342 -0.55836901 1.42500770 -31.992188 81.646927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42523037-1.42500770) × R
    0.000222669999999869 × 6371000     		dl = 1418.63056999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42523037-1.42500770) × R
    0.000222669999999869 × 6371000     		dr = 1418.63056999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55990299--0.55836901) × cos(1.42523037) × R
    0.00153397999999993 × 0.145052424130675 × 6371000     		do = 1417.59539442549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55990299--0.55836901) × cos(1.42500770) × R
    0.00153397999999993 × 0.145272735568472 × 6371000     		du = 1419.7484951505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42523037)-sin(1.42500770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145052424130675-0.145272735568472)×R²
    abs(-0.55836901--0.55990299)×0.000220311437797077×R²
    0.00153397999999993×0.000220311437797077×6371000²
    0.00153397999999993×0.000220311437797077×40589641000000     		ar = 2012571.39799638m²