Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16829 / 49991
↖ ↑ ↗
← N 39.217359°
W133.777771°		 ← 236.63 m → N 39.217359°
W133.775024°		 →
↑
236.62 m
↓
↑
236.62 m
↓
N 39.215231°
W133.777771°		 ← 236.64 m →
55 992 m²		 N 39.215231°
W133.775024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16829 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128398895263672 y=0.381404876708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128398895263672 × 217)
    floor (0.128398895263672 × 131072)
    floor (16829.5)     		tx = 16829
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381404876708984 × 217)
    floor (0.381404876708984 × 131072)
    floor (49991.5)     		ty = 49991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16829 / 49991 ti = "17/16829/49991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16829/49991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16829 ÷ 217
    16829 ÷ 131072     		x = 0.128395080566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49991 ÷ 217
    49991 ÷ 131072     		y = 0.381401062011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128395080566406 × 2 - 1) × π
    -0.743209838867188 × 3.1415926535     		Λ = -2.33486257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381401062011719 × 2 - 1) × π
    0.237197875976562 × 3.1415926535     		Φ = 0.745179104593773
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33486257} λ = -2.33486257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.745179104593773))-π/2
    2×atan(2.10681874210596)-π/2
    2×1.12763418493565-π/2
    2.25526836987129-1.57079632675     		φ = 0.68447204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33486257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.777771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68447204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.217359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16829 KachelY 49991 -2.33486257 0.68447204 -133.777771 39.217359
    Oben rechts KachelX + 1 16830 KachelY 49991 -2.33481463 0.68447204 -133.775024 39.217359
    Unten links KachelX 16829 KachelY + 1 49992 -2.33486257 0.68443490 -133.777771 39.215231
    Unten rechts KachelX + 1 16830 KachelY + 1 49992 -2.33481463 0.68443490 -133.775024 39.215231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68447204-0.68443490) × R
    3.71399999999911e-05 × 6371000     		dl = 236.618939999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68447204-0.68443490) × R
    3.71399999999911e-05 × 6371000     		dr = 236.618939999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33486257--2.33481463) × cos(0.68447204) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.774752965188119 × 6371000     		do = 236.62949770962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33486257--2.33481463) × cos(0.68443490) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.774776446941003 × 6371000     		du = 236.636669641371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68447204)-sin(0.68443490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774752965188119-0.774776446941003)×R²
    abs(-2.33481463--2.33486257)×2.34817528838027e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34817528838027e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34817528838027e-05×40589641000000     		ar = 55991.8694344901m²