Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16827 / 14909
↖ ↑ ↗
← N 79.906598°
W133.783264°		 ← 53.52 m → N 79.906598°
W133.780518°		 →
↑
53.52 m
↓
↑
53.52 m
↓
N 79.906117°
W133.783264°		 ← 53.52 m →
2 864 m²		 N 79.906117°
W133.780518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128383636474609 y=0.113750457763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128383636474609 × 217)
    floor (0.128383636474609 × 131072)
    floor (16827.5)     		tx = 16827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113750457763672 × 217)
    floor (0.113750457763672 × 131072)
    floor (14909.5)     		ty = 14909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16827 / 14909 ti = "17/16827/14909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16827/14909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16827 ÷ 217
    16827 ÷ 131072     		x = 0.128379821777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14909 ÷ 217
    14909 ÷ 131072     		y = 0.113746643066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128379821777344 × 2 - 1) × π
    -0.743240356445312 × 3.1415926535     		Λ = -2.33495844
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113746643066406 × 2 - 1) × π
    0.772506713867188 × 3.1415926535     		Φ = 2.42690141706458
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33495844} λ = -2.33495844}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42690141706458))-π/2
    2×atan(11.3237401150865)-π/2
    2×1.48271478026891-π/2
    2.96542956053782-1.57079632675     		φ = 1.39463323
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33495844} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.783264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39463323 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.906598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16827 KachelY 14909 -2.33495844 1.39463323 -133.783264 79.906598
    Oben rechts KachelX + 1 16828 KachelY 14909 -2.33491051 1.39463323 -133.780518 79.906598
    Unten links KachelX 16827 KachelY + 1 14910 -2.33495844 1.39462483 -133.783264 79.906117
    Unten rechts KachelX + 1 16828 KachelY + 1 14910 -2.33491051 1.39462483 -133.780518 79.906117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39463323-1.39462483) × R
    8.4000000000195e-06 × 6371000     		dl = 53.5164000001242m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39463323-1.39462483) × R
    8.4000000000195e-06 × 6371000     		dr = 53.5164000001242m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33495844--2.33491051) × cos(1.39463323) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.175253351850391 × 6371000     		do = 53.5157192853723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33495844--2.33491051) × cos(1.39462483) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.175261621840501 × 6371000     		du = 53.5182446263405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39463323)-sin(1.39462483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175253351850391-0.175261621840501)×R²
    abs(-2.33491051--2.33495844)×8.26999011041551e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.26999011041551e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.26999011041551e-06×40589641000000     		ar = 2864.03621310406m²