Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1682 / 790
↖ ↑ ↗
← N 37.996163°
E115.664063°		 ← 15.403 km → N 37.996163°
E115.839844°		 →
↑
15.418 km
↓
↑
15.418 km
↓
N 37.857507°
E115.664063°		 ← 15.432 km →
237.708 km²		 N 37.857507°
E115.839844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821533203125 y=0.385986328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821533203125 × 211)
    floor (0.821533203125 × 2048)
    floor (1682.5)     		tx = 1682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.385986328125 × 211)
    floor (0.385986328125 × 2048)
    floor (790.5)     		ty = 790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1682 / 790 ti = "11/1682/790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1682/790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1682 ÷ 211
    1682 ÷ 2048     		x = 0.8212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 790 ÷ 211
    790 ÷ 2048     		y = 0.3857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8212890625 × 2 - 1) × π
    0.642578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01871872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3857421875 × 2 - 1) × π
    0.228515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.717903008709961
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01871872} λ = 2.01871872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.717903008709961))-π/2
    2×atan(2.05012959599347)-π/2
    2×1.11697723433169-π/2
    2.23395446866337-1.57079632675     		φ = 0.66315814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01871872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.664063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.66315814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 37.996163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1682 KachelY 790 2.01871872 0.66315814 115.664063 37.996163
    Oben rechts KachelX + 1 1683 KachelY 790 2.02178668 0.66315814 115.839844 37.996163
    Unten links KachelX 1682 KachelY + 1 791 2.01871872 0.66073815 115.664063 37.857507
    Unten rechts KachelX + 1 1683 KachelY + 1 791 2.02178668 0.66073815 115.839844 37.857507
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.66315814-0.66073815) × R
    0.00241998999999993 × 6371000     		dl = 15417.7562899995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.66315814-0.66073815) × R
    0.00241998999999993 × 6371000     		dr = 15417.7562899995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01871872-2.02178668) × cos(0.66315814) × R
    0.00306796000000009 × 0.788051986233167 × 6371000     		do = 15403.2429715986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01871872-2.02178668) × cos(0.66073815) × R
    0.00306796000000009 × 0.789539444114464 × 6371000     		du = 15432.3167834231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.66315814)-sin(0.66073815))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.788051986233167-0.789539444114464)×R²
    abs(2.02178668-2.01871872)×0.00148745788129689×R²
    0.00306796000000009×0.00148745788129689×6371000²
    0.00306796000000009×0.00148745788129689×40589641000000     		ar = 237707688.692657m²