Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1682 / 626
↖ ↑ ↗
← N 57.136239°
E115.664063°		 ← 10.606 km → N 57.136239°
E115.839844°		 →
↑
10.620 km
↓
↑
10.620 km
↓
N 57.040730°
E115.664063°		 ← 10.634 km →
112.788 km²		 N 57.040730°
E115.839844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821533203125 y=0.305908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821533203125 × 211)
    floor (0.821533203125 × 2048)
    floor (1682.5)     		tx = 1682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305908203125 × 211)
    floor (0.305908203125 × 2048)
    floor (626.5)     		ty = 626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1682 / 626 ti = "11/1682/626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1682/626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1682 ÷ 211
    1682 ÷ 2048     		x = 0.8212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 626 ÷ 211
    626 ÷ 2048     		y = 0.3056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8212890625 × 2 - 1) × π
    0.642578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01871872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3056640625 × 2 - 1) × π
    0.388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.22104870712207
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01871872} λ = 2.01871872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22104870712207))-π/2
    2×atan(3.39074176476454)-π/2
    2×1.28400591255152-π/2
    2.56801182510305-1.57079632675     		φ = 0.99721550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01871872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.664063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99721550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.136239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1682 KachelY 626 2.01871872 0.99721550 115.664063 57.136239
    Oben rechts KachelX + 1 1683 KachelY 626 2.02178668 0.99721550 115.839844 57.136239
    Unten links KachelX 1682 KachelY + 1 627 2.01871872 0.99554854 115.664063 57.040730
    Unten rechts KachelX + 1 1683 KachelY + 1 627 2.02178668 0.99554854 115.839844 57.040730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99721550-0.99554854) × R
    0.00166696 × 6371000     		dl = 10620.20216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99721550-0.99554854) × R
    0.00166696 × 6371000     		dr = 10620.20216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01871872-2.02178668) × cos(0.99721550) × R
    0.00306796000000009 × 0.542643284198053 × 6371000     		do = 10606.4910683897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01871872-2.02178668) × cos(0.99554854) × R
    0.00306796000000009 × 0.544042714757169 × 6371000     		du = 10633.8443005375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99721550)-sin(0.99554854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.542643284198053-0.544042714757169)×R²
    abs(2.02178668-2.01871872)×0.00139943055911629×R²
    0.00306796000000009×0.00139943055911629×6371000²
    0.00306796000000009×0.00139943055911629×40589641000000     		ar = 112788353.899708m²