Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1682 / 423
↖ ↑ ↗
← N 80.546518°
W 32.167969°		 ← 1 605.18 m → N 80.546518°
W 32.080078°		 →
↑
1 606.45 m
↓
↑
1 606.45 m
↓
N 80.532071°
W 32.167969°		 ← 1 607.61 m →
2 580 593 m²		 N 80.532071°
W 32.080078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4107666015625 y=0.1033935546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4107666015625 × 212)
    floor (0.4107666015625 × 4096)
    floor (1682.5)     		tx = 1682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1033935546875 × 212)
    floor (0.1033935546875 × 4096)
    floor (423.5)     		ty = 423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1682 / 423 ti = "12/1682/423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1682/423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1682 ÷ 212
    1682 ÷ 4096     		x = 0.41064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 423 ÷ 212
    423 ÷ 4096     		y = 0.103271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41064453125 × 2 - 1) × π
    -0.1787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.56143697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103271484375 × 2 - 1) × π
    0.79345703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.49271878024292
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56143697} λ = -0.56143697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49271878024292))-π/2
    2×atan(12.0941126971567)-π/2
    2×1.48829913173151-π/2
    2.97659826346301-1.57079632675     		φ = 1.40580194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56143697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.167969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40580194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.546518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1682 KachelY 423 -0.56143697 1.40580194 -32.167969 80.546518
    Oben rechts KachelX + 1 1683 KachelY 423 -0.55990299 1.40580194 -32.080078 80.546518
    Unten links KachelX 1682 KachelY + 1 424 -0.56143697 1.40554979 -32.167969 80.532071
    Unten rechts KachelX + 1 1683 KachelY + 1 424 -0.55990299 1.40554979 -32.080078 80.532071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40580194-1.40554979) × R
    0.000252149999999896 × 6371000     		dl = 1606.44764999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40580194-1.40554979) × R
    0.000252149999999896 × 6371000     		dr = 1606.44764999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56143697--0.55990299) × cos(1.40580194) × R
    0.00153398000000005 × 0.164246794019347 × 6371000     		do = 1605.18171375915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56143697--0.55990299) × cos(1.40554979) × R
    0.00153398000000005 × 0.164495514416111 × 6371000     		du = 1607.6124548589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40580194)-sin(1.40554979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164246794019347-0.164495514416111)×R²
    abs(-0.55990299--0.56143697)×0.000248720396764129×R²
    0.00153398000000005×0.000248720396764129×6371000²
    0.00153398000000005×0.000248720396764129×40589641000000     		ar = 2580592.83472889m²