Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 16818 / 50754
↖ ↑ ↗
← S 69.782749°
W 87.615967°		 ← 211.10 m → S 69.782749°
W 87.610473°		 →
↑
211.07 m
↓
↑
211.07 m
↓
S 69.784647°
W 87.615967°		 ← 211.08 m →
44 555 m²		 S 69.784647°
W 87.610473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.256629943847656 y=0.774452209472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.256629943847656 × 216)
    floor (0.256629943847656 × 65536)
    floor (16818.5)     		tx = 16818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774452209472656 × 216)
    floor (0.774452209472656 × 65536)
    floor (50754.5)     		ty = 50754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 16818 / 50754 ti = "16/16818/50754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/16818/50754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16818 ÷ 216
    16818 ÷ 65536     		x = 0.256622314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50754 ÷ 216
    50754 ÷ 65536     		y = 0.774444580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.256622314453125 × 2 - 1) × π
    -0.48675537109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.52918710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774444580078125 × 2 - 1) × π
    -0.54888916015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.72438615313266
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.52918710} λ = -1.52918710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72438615313266))-π/2
    2×atan(0.178282456317957)-π/2
    2×0.176428799740259-π/2
    0.352857599480518-1.57079632675     		φ = -1.21793873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.52918710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.615967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21793873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.782749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16818 KachelY 50754 -1.52918710 -1.21793873 -87.615967 -69.782749
    Oben rechts KachelX + 1 16819 KachelY 50754 -1.52909122 -1.21793873 -87.610473 -69.782749
    Unten links KachelX 16818 KachelY + 1 50755 -1.52918710 -1.21797186 -87.615967 -69.784647
    Unten rechts KachelX + 1 16819 KachelY + 1 50755 -1.52909122 -1.21797186 -87.610473 -69.784647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21793873--1.21797186) × R
    3.31300000000478e-05 × 6371000     		dl = 211.071230000305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21793873--1.21797186) × R
    3.31300000000478e-05 × 6371000     		dr = 211.071230000305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.52918710--1.52909122) × cos(-1.21793873) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.345580752228867 × 6371000     		do = 211.098513958378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.52918710--1.52909122) × cos(-1.21797186) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.345549663211148 × 6371000     		du = 211.079523185893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21793873)-sin(-1.21797186))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345580752228867-0.345549663211148)×R²
    abs(-1.52909122--1.52918710)×3.10890177193102e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.10890177193102e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.10890177193102e-05×40589641000000     		ar = 44554.8187937869m²