Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16817 / 17434
↖ ↑ ↗
← S 11.458491°
E  4.757080°		 ← 1 197.29 m → S 11.458491°
E  4.768067°		 →
↑
1 197.24 m
↓
↑
1 197.24 m
↓
S 11.469258°
E  4.757080°		 ← 1 197.24 m →
1 433 415 m²		 S 11.469258°
E  4.768067°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513229370117188 y=0.532058715820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513229370117188 × 215)
    floor (0.513229370117188 × 32768)
    floor (16817.5)     		tx = 16817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.532058715820312 × 215)
    floor (0.532058715820312 × 32768)
    floor (17434.5)     		ty = 17434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16817 / 17434 ti = "15/16817/17434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16817/17434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16817 ÷ 215
    16817 ÷ 32768     		x = 0.513214111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17434 ÷ 215
    17434 ÷ 32768     		y = 0.53204345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.513214111328125 × 2 - 1) × π
    0.02642822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.08302671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53204345703125 × 2 - 1) × π
    -0.0640869140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.201334978404236
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08302671} λ = 0.08302671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.201334978404236))-π/2
    2×atan(0.817638494436804)-π/2
    2×0.685403967928702-π/2
    1.3708079358574-1.57079632675     		φ = -0.19998839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08302671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.757080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19998839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.458491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16817 KachelY 17434 0.08302671 -0.19998839 4.757080 -11.458491
    Oben rechts KachelX + 1 16818 KachelY 17434 0.08321846 -0.19998839 4.768067 -11.458491
    Unten links KachelX 16817 KachelY + 1 17435 0.08302671 -0.20017631 4.757080 -11.469258
    Unten rechts KachelX + 1 16818 KachelY + 1 17435 0.08321846 -0.20017631 4.768067 -11.469258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19998839--0.20017631) × R
    0.000187920000000008 × 6371000     		dl = 1197.23832000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19998839--0.20017631) × R
    0.000187920000000008 × 6371000     		dr = 1197.23832000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08302671-0.08321846) × cos(-0.19998839) × R
    0.000191749999999991 × 0.980068884326119 × 6371000     		do = 1197.29061679644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08302671-0.08321846) × cos(-0.20017631) × R
    0.000191749999999991 × 0.98003153521892 × 6371000     		du = 1197.24498966113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19998839)-sin(-0.20017631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980068884326119-0.98003153521892)×R²
    abs(0.08321846-0.08302671)×3.73491071995469e-05×R²
    0.000191749999999991×3.73491071995469e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.73491071995469e-05×40589641000000     		ar = 1433414.89754603m²