Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16816 / 50216
↖ ↑ ↗
← N 38.736946°
W133.813477°		 ← 238.24 m → N 38.736946°
W133.810730°		 →
↑
238.21 m
↓
↑
238.21 m
↓
N 38.734804°
W133.813477°		 ← 238.25 m →
56 752 m²		 N 38.734804°
W133.810730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128299713134766 y=0.383121490478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128299713134766 × 217)
    floor (0.128299713134766 × 131072)
    floor (16816.5)     		tx = 16816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.383121490478516 × 217)
    floor (0.383121490478516 × 131072)
    floor (50216.5)     		ty = 50216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16816 / 50216 ti = "17/16816/50216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16816/50216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16816 ÷ 217
    16816 ÷ 131072     		x = 0.1282958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50216 ÷ 217
    50216 ÷ 131072     		y = 0.38311767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1282958984375 × 2 - 1) × π
    -0.743408203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.33548575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.38311767578125 × 2 - 1) × π
    0.2337646484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.73439330217926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33548575} λ = -2.33548575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.73439330217926))-π/2
    2×atan(2.08421711886182)-π/2
    2×1.12344178889602-π/2
    2.24688357779203-1.57079632675     		φ = 0.67608725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33548575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.813477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67608725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.736946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16816 KachelY 50216 -2.33548575 0.67608725 -133.813477 38.736946
    Oben rechts KachelX + 1 16817 KachelY 50216 -2.33543781 0.67608725 -133.810730 38.736946
    Unten links KachelX 16816 KachelY + 1 50217 -2.33548575 0.67604986 -133.813477 38.734804
    Unten rechts KachelX + 1 16817 KachelY + 1 50217 -2.33543781 0.67604986 -133.810730 38.734804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67608725-0.67604986) × R
    3.7390000000026e-05 × 6371000     		dl = 238.211690000166m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67608725-0.67604986) × R
    3.7390000000026e-05 × 6371000     		dr = 238.211690000166m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33548575--2.33543781) × cos(0.67608725) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.780027070216991 × 6371000     		do = 238.2403451409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33548575--2.33543781) × cos(0.67604986) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.780050466306114 × 6371000     		du = 238.247490908734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67608725)-sin(0.67604986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.780027070216991-0.780050466306114)×R²
    abs(-2.33543781--2.33548575)×2.33960891227181e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33960891227181e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33960891227181e-05×40589641000000     		ar = 56752.4863517272m²