Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16816 / 11728
↖ ↑ ↗
← N 45.460131°
E  4.746094°		 ← 856.86 m → N 45.460131°
E  4.757080°		 →
↑
856.90 m
↓
↑
856.90 m
↓
N 45.452424°
E  4.746094°		 ← 856.98 m →
734 297 m²		 N 45.452424°
E  4.757080°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513198852539062 y=0.357925415039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513198852539062 × 215)
    floor (0.513198852539062 × 32768)
    floor (16816.5)     		tx = 16816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.357925415039062 × 215)
    floor (0.357925415039062 × 32768)
    floor (11728.5)     		ty = 11728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16816 / 11728 ti = "15/16816/11728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16816/11728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16816 ÷ 215
    16816 ÷ 32768     		x = 0.51318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11728 ÷ 215
    11728 ÷ 32768     		y = 0.35791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51318359375 × 2 - 1) × π
    0.0263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.08283496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35791015625 × 2 - 1) × π
    0.2841796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.892776818523926
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08283496} λ = 0.08283496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.892776818523926))-π/2
    2×atan(2.44190096141245)-π/2
    2×1.18211264239774-π/2
    2.36422528479547-1.57079632675     		φ = 0.79342896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08283496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.746094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79342896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.460131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16816 KachelY 11728 0.08283496 0.79342896 4.746094 45.460131
    Oben rechts KachelX + 1 16817 KachelY 11728 0.08302671 0.79342896 4.757080 45.460131
    Unten links KachelX 16816 KachelY + 1 11729 0.08283496 0.79329446 4.746094 45.452424
    Unten rechts KachelX + 1 16817 KachelY + 1 11729 0.08302671 0.79329446 4.757080 45.452424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79342896-0.79329446) × R
    0.000134499999999926 × 6371000     		dl = 856.899499999531m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79342896-0.79329446) × R
    0.000134499999999926 × 6371000     		dr = 856.899499999531m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08283496-0.08302671) × cos(0.79342896) × R
    0.000191750000000004 × 0.701405409648006 × 6371000     		do = 856.864378588353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08283496-0.08302671) × cos(0.79329446) × R
    0.000191750000000004 × 0.701501269866264 × 6371000     		du = 856.98148519349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79342896)-sin(0.79329446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701405409648006-0.701501269866264)×R²
    abs(0.08302671-0.08283496)×9.58602182573598e-05×R²
    0.000191750000000004×9.58602182573598e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.58602182573598e-05×40589641000000     		ar = 734296.832982407m²